周期(循环)数列(扩展)的运用对于数列{An},如果存在一个常数T,对于任意整数n>N,使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立,则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。典型例题:例1.(年全国课标卷文5分)数列满足,则的前60项和为【】(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830【答案】D。【考点】分类归纳(数字的变化类),数列。【解析】求出的通项:由得,当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;······当时,;当时,;当时,;当时,()。∵,∴的四项之和为()。设()。则的前项和等于的前15项和,而是首项为10,公差为16的等差数列,∴的前项和=的前15项和=。故选D。例2.(年湖南省文5分)对于,将n表示为,当时,当时为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,a2…,,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@](1)b2+b4+b6+b8=▲.;(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是▲..【答案】(1)3;(2)2。【考点】数列问题。【解析】(1)观察知;;依次类推;;;,;;∴b2+b4+b6+b8=3。(2)由(1)知cm的最大值为2。例3.(年上海市文18分)对于项数为的有穷数列,记(),即为中的最大值,并称数列是的控制数列,如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5(1)若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5,写出所有的(4分)(2)设是的控制数列,满足(为常数,),求证:()(6分)(3)设,常数,若,是的控制数列,求(8分)【答案】解:(1)数列为:2,3,4,5,1;2,3,4,5,2;2,3,4,5,3;2,3,4,5,4;2,3,4,5,5。(2)证明:∵,,∴。∵,,∴,即。∴。(3)对,;;;。比较大小,可得。∵,∴,即;,即。又∵,∴,,,。∴=====。【考点】数列的应用。【解析】(1)根据题意,可得数列。(2)依题意可得,又,,从而可得,整理即证得结论。(3)根据,可发现,;;;。通过比较大小,可得,,而,从而可求得的值。