周期（循环）数列（扩展）的运用对于数列{An}，如果存在一个常数T,对于任意整数n>N，使得对任意的正整数恒有Ai=A(i+T)成立，则称数列{An}是从第n项起的周期为T的周期数列。典型例题：例1.（年全国课标卷文5分）数列满足，则的前60项和为【】（A）3690（B）3660（C）1845（D）1830【答案】D。【考点】分类归纳（数字的变化类），数列。【解析】求出的通项：由得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；······当时，；当时，；当时，；当时，（）。∵，∴的四项之和为（）。设（）。则的前项和等于的前15项和，而是首项为10，公差为16的等差数列，∴的前项和=的前15项和=。故选D。例2.（年湖南省文5分）对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2…，，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.[中国教#*育&出版^网@]（1）b2+b4+b6+b8=▲.；（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是▲..【答案】（1）3；（2）2。【考点】数列问题。【解析】（1）观察知；；依次类推；；；，；；∴b2+b4+b6+b8=３。（2）由（1）知cm的最大值为２。例3.（年上海市文18分）对于项数为的有穷数列，记（），即为中的最大值，并称数列是的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5（1）若各项均为正整数的数列的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的（4分）（2）设是的控制数列，满足（为常数，），求证：（）（6分）（3）设，常数，若，是的控制数列，求（8分）【答案】解：（1）数列为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5。（2）证明：∵，，∴。∵，，∴，即。∴。（3）对，；；；。比较大小，可得。∵，∴，即；，即。又∵，∴，，，。∴=====。【考点】数列的应用。【解析】（1）根据题意，可得数列。（2）依题意可得，又，，从而可得，整理即证得结论。（3）根据，可发现，；；；。通过比较大小，可得，，而，从而可求得的值。
