【创新设计】高考数学一轮复习第九章分类加法计数原理和分布乘法计数原理训练理新人教A版第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.高考中，对于两个计数原理一般不单独考查，多与排列、组合相结合考查，且多为选择、填空题，如年北京T6，浙江T6等.[归纳·知识整合]1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2…种不同的方法，，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事，共有N＝m1＋m2…＋＋mn种不同的方法．[探究]1.选用分类加法计数原理的条件是什么？提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理．2．分步乘法计数原理完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种…不同的方法，，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…mn种不同的方法．[探究]2.选用分类乘法计数原理的条件是什么？提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理．[自测·牛刀小试]1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()A．182B．14C．48D．91解析：选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为6×8＝48.2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()A．3种B．6种C．7种D．9种解析：选C分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种．3．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A．30B．20C．10D．6解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有N＝3＋3＝6种．4．如图，从A→C有________种不同的走法．解析：分为两类：不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．答案：65．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．解析：建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有23＝8个．答案：8分类加法计数原理[例1](1)(·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6(2)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为()A．80B．120C．140D．50[自主解答](1)法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n＝CCA＋CC＝12＋6＝18；法二：(间接法)奇数的个数为n＝CCCA－CC＝18.(2)分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是CA，此时的方法数是CCA＝60；若甲组3人，则方法数是CA＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.[答案](1)B(2)A本例(1)条件不变，求有多少个能被5整除的数？解：能被5整除的数分两类：当个位数是0时，有A＝6个；当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有C·A＝4个．故共有12个能被5整除的数．———————————————————使用分类加法计数原理计数的两个条件一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．1．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n“为良”数．例如：32“”是良数，因为32＋33＋34不产生进位现象；23“”不是良数，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1000“”的良数的个数为()A．27B．...
