第2讲等差数列及其前n项和分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·重庆卷改编)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝________.解析设公差为d，则d＝a3－a2＝2.∴a1＝0，an＝2n－2∴a10＝2×10－2＝18.答案182．(·辽宁卷改编)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝________.解析由等差数列性质及已知，得S11＝＝(a4＋a8)＝×16＝88.答案883．(·泰州学情调查)在等差数列{an}中，a1＞0，S4＝S9，则Sn取最大值时，n＝________.解析因为a1＞0，S4＝S9，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，所以a7＝0，所以从而当n＝6或7时Sn取最大值．答案6或74．在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则S9＝________.解析 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，∴3a4＝39,3a6＝27，∴a4＝13，a6＝9.∴a6－a4＝2d＝9－13＝－4，∴d＝－2，∴a5＝a4＋d＝13－2＝11，∴S9＝＝9a5＝99.答案995．(·南通调研)设等差数列{an}的公差为正数，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝________.解析由15＝a1＋a2＋a3＝3a2，得a2＝5.所以又公差d＞0，所以所以d＝3.所以a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝3(2＋33)＝3×35＝105.答案1056．(·南京模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n2＋pn，a7＝11.若ak＋ak＋1＞12，则正整数k的最小值为________．解析因为a7＝S7－S6＝2×72＋7p－2×62－6p＝26＋p＝11，所以p＝－15，Sn＝2n2－15n，an＝Sn－Sn－1＝4n－17(n≥2)，当n＝1时也满足．于是由ak＋ak＋1＝8k－30＞12，得k＞＞5.又k∈N*，所以k≥6，即kmin＝6.答案6二、解答题(每小题15分，共30分)7．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．解(1)由题意知S6＝＝－3，a6＝S6－S5＝－8，所以解得a1＝7，所以S6＝－3，a1＝7.(2)因为S5S6＋15＝0，所以(5a1＋10d)(6a1＋15d)＋15＝0，即2a＋9da1＋10d2＋1＝0，故(4a1＋9d)2＝d2－8，所以d2≥8.故d的取值范围为d≤－2或d≥2.8．已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N*，n≥2)，且a3＝27.(1)求a1，a2的值；(2)记bn＝(an＋t)(n∈N*)，问是否存在一个实数t，使数列{bn}是等差数列？若存在，求出实数t；若不存在，请说明理由．解(1)由a3＝27，得2a2＋23＋1＝27，所以a2＝9.又由2a1＋22＋1＝9，得a1＝2.(2)假设存在实数t，使得数列{bn}是等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1，即2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，即4an＝4an－1＋an＋1＋t，所以4an＝4×＋2an＋2n＋1＋t＋1，所以t＝1.故存在t＝1，使得数列{bn}是等差数列．分层训练B级创新能力提升1．(·南京学期学情)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，且＝，则＝________.解析＝＝＝＝＝.答案2．已知数列{an}满足递推关系式an＋1＝2an＋2n－1(n∈N*)，且为等差数列，则λ的值是________．解析由an＋1＝2an＋2n－1，可得＝＋－，则－＝－－＝－－＝－，当λ的值是－1时，数列是公差为的等差数列．答案－13．(·苏北四市调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则(ai＋bi)的值是________．解析由题意得a1＋b2010＝a2＋b2009＝a3＋b2008…＝＝a2009＋b2＝a2010＋b1.所以(ai＋bi)＝2010(a1＋b2010)故(ai＋bi)＝×2010(a1＋b2010)＝a1＋b2010.下面求b2010.令i＝1，j＝n，k＝2，l＝n－1，即a1＋bn＝a2＋bn－1，则bn－bn－1＝a2－a1＝1，所以{bn}是以b1＝2为首项，以d＝1为公差的等差数列，所以b2010＝2＋(2010－1)＝2011.所以a1＋b2010＝1＋2011＝2012.答案20124．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝________.解析由an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，得＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n.答案n·2n5．在等差数列{an}中，公差d＞0，前n项和为Sn，a2·a3＝45，a1＋a5＝18.(1)求数列{an}的通项公式...
