第4讲等差数列、等比数列与数列求和分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·南京29中模拟)已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为________．解析设数列{an}的公比为q.由题意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，由求和公式可得S5＝.答案2．(·常州一中期中)已知数列{an}与{2an＋3}均为等比数列，且a1＝1，则a168＝________.解析设{an}公比为q，an＝a1qn－1＝qn－1，则2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3也为等比数列，∴5,2q＋3,2q2＋3也为等比数列，则(2q＋3)2＝5(2q2＋3)，∴q＝1，从而an＝1为常数列，∴a168＝1.答案13．(·大纲全国改编)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为________．解析 a5＝5，S5＝15，∴＝15，即a1＝1.∴d＝＝1，∴an＝n.∴＝＝－.设数列的前n项和为Tn.∴T100…＝＋＋＋＝1－＝.答案4．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，a1＝5，b1＝7，且a20＋b20＝60.则{an＋bn}的前20项的和为________．解析由题意知{an＋bn}也为等差数列，所以{an＋bn}的前20项和为：S20＝＝＝720.答案7205．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a…＋＋a＝________.解析当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1，又 a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a…＋＋a＝＝(4n－1)．答案(4n－1)6．已知等比数列{an}中，a1＝3，a4＝81，若数列{bn}满足bn＝log3an，则数列的前n项和Sn＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则＝q3＝27，解得q＝3.所以an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n，故bn＝log3an＝n，所以＝＝－.则数列的前n项和为1…－＋－＋＋－＝1－＝.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通项公式；(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．解(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，所以解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)·2＝2n－12.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以{bn}的前n项和公式为Sn＝＝4(1－3n)．8．已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的r，t∈N*，都有＝2.(1)判断{an}是否是等差数列，并证明你的结论；(2)若a1＝1，b1＝1，数列{bn}的第n项是数列{an}的第bn－1项(n≥2)，求bn；(3)求和Tn＝a1b1＋a2b2…＋＋anbn.解(1){an}是等差数列．证明如下：因为a1＝S1≠0，令t＝1，r＝n，则由＝2，得＝n2，即Sn＝a1n2，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)a1，且n＝1时此式也成立，所以an＋1－an＝2a1(n∈N*)，即{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．(2)当a1＝1时，由(1)知an＝a1(2n－1)＝2n－1，依题意，当n≥2时，bn＝abn－1＝2bn－1－1，所以bn－1＝2(bn－1－1)，又b1－1＝2，所以{bn－1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以bn－1＝2·2n－1，即bn＝2n＋1.(3)因为anbn＝(2n－1)(2n＋1)＝(2n－1)·2n＋(2n－1)Tn＝[1·2＋3·22…＋＋(2n－1)·2n]＋[1＋3…＋＋(2n－1)]，即Tn＝[1·2＋3·22…＋＋(2n－1)·2n]＋n2，①2Tn＝[1·22＋3·23…＋＋(2n－1)·2n＋1]＋2n2，②②－①，得Tn＝(2n－3)·2n＋1＋n2＋6.分层训练B级创新能力提升1．(·北京卷)在等比数列{an}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|…＋＋|an|＝________.解析 ＝q3＝－8，∴q＝－2.∴an＝·(－2)n－1，∴|an|＝2n－2，∴|a1|＋|a2|…＋＋|an|＝＝2n－1－.答案－22n－1－2．(·南京模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S11＝35＋S6，则S17的值为________．解析因S11＝35＋S6，得11a1＋d＝35＋6a1＋d，即a1＋8d＝7，所以S17＝17a1＋d＝17(a1＋8d)＝17×7＝119.答案1193．(·杭州模拟)等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8…＋＋a2n，则Tn＝________.解析设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a＝a1a5，即(7－2d)...
