第4讲与圆锥曲线有关的定值、最值与范围问题分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若α∈，方程x2sinα＋y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析由＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，得>>0，即sinα>cosα>0.又α∈，所以<α<.答案2．已知椭圆C：＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则PF1＋PF2的取值范围是________．解析由题意，得点P在椭圆＋y2＝1的内部，所以2c≤PF1＋PF2<2a，即2≤PF1＋PF2<2.答案[2,2)．3．(·江苏丹阳中学模拟)已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于点P，则使得PF1·PF2<0的点M的概率为________．解析设点P的坐标为(m，n)，则PF1·PF2＝(－－m，－n)·(－m，－n)＝m2－3＋n2＝m2－3＋1－＝－2<0，解得－b>0)的焦点，P是椭圆上一点，且PF1·PF2＝0，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则由PF1·PF2＝0，得PF1⊥PF2，所以有m2＋n2＝F1F＝4c2.又由椭圆定义，得m＋n＝2a.≥于是由不等式2，得2c2≥a2，所以e2≥＝.又0b>0)，当a2＋取最小值时，椭圆的离心率e＝________.解析a2≥＋a2＋＝a2≥＋2＝16，当且仅当a2＝8，b2＝a2＝2时等号成立，此时c2＝a2－b2＝6，所以e＝＝.答案6．(·镇江模拟)设F1、F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝上存在点P使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率e的取值范围是________．解析设P，F1P的中点Q的坐标为，当y≠0时，有kF1P＝，kQF2＝，由kF1P·kQF2＝－1得y2＝，y2≥0，但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0，即3c2－a2>0，即e2>，故5)≥，所以＝＝＝＝2＋，当且仅当a2＝5＋2时等号成立．答案2＋2．(·南京模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得＝e，则该离心率e的取值范围是________．解析因为PF1＝ePF2，PF1＋PF2＝2a，所以PF1＝，PF2＝，...
