第5讲两角和与差的正弦、余弦和正切分层训练A级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(·宿迁联考)已知tan＝，则tanα＝________.解析tanα＝tan＝＝＝－.答案－2．(·日照调研)已知cosα＝－，且α∈，则tan＝________.解析由条件得sinα＝，所以tanα＝－，tan＝＝.答案3．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tanαtanβ＝________.解析由cosαcosβ－sinαsinβ＝，cosαcosβ＋sinαsinβ＝，解得cosαcosβ＝，sinαsinβ＝，所以tanαtanβ＝.答案4．若sinα＝，α∈，则cos＝________.解析因为α∈，sinα＝，所以cosα＝，所以cos＝－(cosα－sinα)＝－.答案－5．已知向量a＝，b＝(4,4cosα－)，若a⊥b，则sin＝________.解析a·b＝4sin＋4cosα－＝2sinα＋6cosα－＝4sin－＝0，所以sin＝.所以sin＝－sin＝－.答案－6．(·盐城市二模)函数f(x)＝sin2xsin－cos2xcos在上的单调递增区间为________．解析f(x)＝cos，当x∈时，2x－∈，于是由2x－∈[－π，0]，得f(x)在上的单调增区间为.答案二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知A，B，C是△ABC的内角，向量m＝，n＝，满足|m＋n|＝.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝sinA，试判断△ABC的形状．解(1)由|m＋n|＝，得m2＋n2＋2m·n＝3，即1＋1＋2＝3，所以cosA＝，又0＜A＜π，所以A＝.(2)因为sinB＋sinC＝sinA，所以sinB＋sin＝×，即sinB＋cosB＝，sin＝，又0＜B＜，所以B＋＝或，所以B＝或.因此B＝时，C＝；B＝时，C＝.故△ABC为直角三角形．8．已知向量a＝(m，sin2x)，b＝(cos2x，n)，x∈R，f(x)＝a·b，若函数f(x)的图象经过点(0,1)和.(1)求m，n的值；(2)求f(x)的最小正周期，并求f(x)在x∈上的最小值；(3)若f＝，α∈时，求tan的值．解(1)f(x)＝mcos2x＋nsin2x，因为f(0)＝1，所以m＝1.又f＝1，所以n＝1.故m＝1，n＝1.(2)f(x)＝cos2x＋sin2x＝sin，所以f(x)的最小正周期为π.因为x∈，所以2x＋∈，所以当x＝0或x＝时，f(x)取最小值1.(3)因为f＝，所以cosα＋sinα＝，即sin＝，又α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以tan＝＝.分层训练B级创新能力提升1．(·苏州调研)已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈(0，π)，则α＋2β＝________.解析tan2β＝＝＝，所以tan(α＋2β)＝＝＝1.∵tanα＝＜1，α∈(0，π)，∴α∈，同理β∈，∴α＋2β∈，所以α＋2β＝.答案2．若sinα－sinβ＝1－，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为________．解析由sinα－sinβ＝1－得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝1－＋＝－.①由cosα－cosβ＝得：cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②①＋②得1＋1－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝2－，即2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝.答案3．(·南京高三第二次调研)计算：＝________.解析＝＝＝.答案4．(·南通高三第二次调研)已知＝1，tan(β－α)＝－，则tan＝________.解析由＝1，得2tanα＝1，即tanα＝，所以tan(β－2α)＝tan(β－α－α)＝＝＝－1.答案－15．(1)已知0<β<<α<π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值；(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．思维启迪(1)拆分角：＝－，利用平方关系分别求各角的正弦、余弦．(2)2α－β＝α＋(α－β)；α＝(α－β)＋β.解(1)∵0<β<<α<π，∴－<－β<，<α－<π，∴cos＝＝，sin＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<，又∵tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1.∵tanβ＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－.探究提高(1)注意变角－＝，可先求cos或sin的值．(2)先由tanα＝tan[(α－β)＋β]，求tanα的值，再求tan2α的值，这种方法的优点是可确定2α的取值范围．(3)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．(4)解这类问题的一般步骤：①求角的某一个三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围写出所求的角．6．在△ABC中，A、B、C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2＋cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m＞2恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f(B)＝4cosB×＋cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝2sin.∵f(B)＝2，∴2sin＝2，∵0＜B＜π，∴2B＋＝.∴B＝.(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.∴m＜－4.
