直线与平面平行经典题目VIP免费

9.2直线与平面平行●知识梳理1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内.2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.●点击双基1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是A.α⊥β且m⊥βB.α∩β=n且m∥nC.m∥n且n∥αD.α∥β且mβ答案：D2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③C.③④D.①④解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交.答案：A3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是A.异面B.相交C.平行D.不能确定解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，过直线a作与α、β都相交的平面γ，记α∩γ=b，β∩γ=c，则a∥b且a∥c，∴b∥c.又bα，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.答案：C4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与lA.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线解析：对于任意的直线与平面，若在平面α内，则存在直线m⊥；若不在平面α内，且⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于，若不在平面α内，且于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，综上所述，选C.5.已知平面和直线，给出条件：①；②；③；④；⑤.（i）当满足条件③⑤时，有；（ii）当满足条件②⑤时，有.（填所选条件的序号）第1页共10页●典例剖析【例1】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ. MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ.又NQ=BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.∴MN∥PQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，∴MN∥平面BCE.证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG. MG∥BC，BC平面BCE，MG平面BCE，∴MG∥平面BCE.又==，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN平面MNG.∴MN∥平面BCE.特别提示证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.【例2】已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.（1）求证：直线MN∥平面PBC；（2）求直线MN与平面ABCD所成的角.（1）证明： P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE. AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND.又 BN∶ND=PM∶MA，∴EN∶AN=PM∶MA.∴MN∥PE.又 PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.第2页共10页（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角.设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角.由正棱锥的性质知PO==.由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8，∴BE=.在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=，根据余弦定理，得PE=.在Rt△POE中，PO=，PE=，∴sin∠PEO==.故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.【例3】如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，（I）求证：AC⊥BC1；（II）求证：AC1//平面CDB1；（III）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．解析：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴AC⊥BC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE//AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1//平面CDB1；（III） DE//AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中，ED=AC1=，CD=AB=，CE=CB1=2，∴，∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.第3页共10页●闯关训练夯实基础1.（07福建理）已知m...