第23课时二次函数的综合运用三、典例精析：1．（2014•黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．OxyEGBACD2、（10分）已知抛物线和直线（1）求证：无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点；（2）抛物线与轴交于点A、B，直线与轴点C，设A、B、C三点的横坐标分别是、、，求的最大值；（3）如果抛物线与与轴交于点A、B在原点的右边，直线与轴点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且，求抛物线的解析式。3、（10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，且与轴交于另一点，其顶点为．孔明同学用一把宽为带刻度的矩形直尺对抛物线进行如下测量：①量得；②把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合（如图1），测得抛物线与直尺右边的交点的刻度读数为．请完成下列问题：（1）写出抛物线的对称轴；（2）求抛物线的解析式；（3）将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点的右边（如图2），直尺的两边交轴于点、，交抛物线于点、．求证：．3cmCBAOyx图1AOyxEFGH图2·B考点：二次函数综合题．分析：（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）根据直线AB的解析式，可求得直线AC的解析式y=﹣x+b，已知了点A的坐标，即可求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式，可求得C点的坐标；解答：解：（1）∵B（4，m）在直线线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx﹣4上，∴，∵c=6，∴a=2，b=﹣8，∴y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．OxyEGBACD（3）设直线AC的解析式为y=﹣x+b，把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，∴直线AC解析式：y=﹣x+3，点C在抛物线上，设C（m，2m2﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m2﹣8m+6=﹣m+3，整理得：2m2﹣7m+3=0，解得；m=3或m=，∴P（3，0）或P（，）．4、（本题满分10分）已知抛物线和直线（1）求证：无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点；（2）抛物线与轴交于点A、B，直线与轴点C，设A、B、C三点的横坐标分别是、、，求的最大值；（3）如果抛物线与与轴交于点A、B在原点的右边，直线与轴点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且，求抛物线的解析式。解：（1）此问主要考查二次函数与一元二次方程的关系∵的判别式△＝∴无论取何实数值，抛物线与轴有两个不同的交点（2）主要考查学生对直线与抛物线与轴交点横坐标与方程的关系、根与系数的关系及二次函数的最大值的求法。∵与轴点C的横坐标为：与轴交于点A、B的横坐标为方程：OxyEGBACD的两个根∴＝，∴=∴最大值为：（3）此题考查了：从到比例式，然后再由比例式进行变形得到相似，然后得到平行，通过平行得比例式从而求解出函数解析式：①证明：AD∥BE∵∴∴即：∵∠GCA≒∠ECB，∴△GCA∽△ECB∴∠GAC≒∠EBC∴AD∥BE②证明△OAD∽△OBE在△OAD与△OBE中∵∠GAC≒∠EBC，∠DOA≒∠EOB∴△OAD∽△OBE∴③利用根与系数的关系及函数关系建立方程设的两根分别为与则可知：OA＝，OB＝OD长度为与轴交点的纵坐标的长度；OE长度为：与轴交点的纵坐标∵∴（方程一）根据根与系数的关系列出另两方程：（方程二）（方程三）将方程一、二、三组成方程组。解之得：∴抛物线的解析式为：④方程的解法技巧：将方程三代入方程一得：∵由图可知，对称轴在轴的右边∴故得：代入方程二从而解出：将、代入方程三：即可得
