03-平面向量VIP专享VIP免费

平面向量讲义知识框架：概念（向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、反向量）运算（加减、点乘）定理（平面向量基本定理、向量共线基本定理、三点共线定理）坐标运算集合中的应用（三角形的五心）一、向量有关概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。例1.已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的（与任意向量相平行）；3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；1④三点共线共线；6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。例2.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______二、向量的表示方法1.几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2.符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三、平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。例3.例题：（1）若，则______（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.B.C.D.（3）已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为_____（4）已知中，点在边上，且，，则的值是___四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：：当>0时，的方向与的方向相同当<0时，的方向与的方向相反当＝0时，，注意：≠0。（注意向量与标量的区别）五、平面向量的数量积21.两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角：当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。2.平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。例4.例题：（1）△ABC中，，，，则_________（2）已知，与的夹角为，则等于____（3）已知，则等于____（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____3.在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。例5.已知，，且，则向量在向量上的投影为______4.的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。5.向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；③非零向量，夹角的计算公式：；④。例6.例题：（1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______（2）已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（3）已知与之间有关系式，①用表示3；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小六、向量的运算：1.几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。...