《复变函数与积分变换》研究生复习计算题部分一、填空题1.若，，则材=（P14，两个复数的商等于它们的模的商；两个复数的商的辐角等于被除数和除数的辐角之差）2.复数的指数形式是，幅角主值=。（P46）3.复数=，=（计算过程可见第三题）。（P46）4.设解析，则，==。（P41，柯西。黎曼方程）5.设C为自原点到的直线段，则积分=（用牛顿-莱布尼兹公式）。6.级数是条件收敛（填发散、条件收敛或绝对收敛）。7.=。（请分别用柯西积分公式或留数定理计算）8.设.，则是可去奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点），=0。9.函数的奇点是（都是一级极点）10.是的本性奇点（选：可去奇点、极点或本性奇点），=1。11.函数的幂级数展开式是。12.拉普拉斯变换的定义是。第页113.若,则。二、计算1.说明函数在一点连续、可导、解析的关系。讨论的连续、可导、解析性。答：函数在一点连续、可导、解析的关系是：解析可导连续，反之不成立。对，设，则，即。由于都是连续函数，故在复平面上处处连续。由于。显然可微，但只在处满足柯西-黎曼方程。因此只在处可导，但在复平面上处处不解析。2.分别求和的模、幅角、实部、虚部。解：所以模为，幅角4+2k(主值为4-)，实部、虚部。所以模为，幅角+2k(主值为)，实部、虚部。3.求,解：。其中k=0时可得相应主值。4.验证是调和函数，并求，使函数为解析函数。第页2解：，因此u是调和函数。下面用偏积分法求v：由，得到；再由，得，，所以当时，为解析函数。三、求下列积分1.，其中C是从0到的直线段。解：由于zez是解析函数，用分部积分法可得2.其中C是从0到的直线段解：由于被积函数不解析，本题只能沿曲线来计算积分。直线段的参数方程为z=(2+i)t(t从0到1),dz=(2+i)dt。所以得到3.设，求（6分）解：所以进而得4.求积分,为不通过的闭曲线.解：当a不在C内时，由柯西-古萨基本定理，得当a在C内时，由高阶导数公式，得。第页35.解：的一级极点有z=0.5+k，其中在C内。且由法则Ⅲ可求得在各极点处的留数为。故由留数定理得同理；四.函数的展开式1.求在内的罗朗展开。2.在内的罗朗展开。3.将函数展成z的罗朗级数，并指出收敛范围。解：1.对，因为在内有，故在内有2.对，在内时第页43.四、积分变换部分1.求拉氏变换，，。解：2.求下列函数的拉氏逆变换,解:证明题部分1.应用棣莫弗公式证明2.证明：如果函数在区域D内解析，且在D内是一个常数，那么是常数。第页53.证明4.证明如果级数在它的收敛圆的圆周上一点处绝对收敛，则它在收敛圆所围成的闭区域上绝对收敛。综合题部分1.写出指数函数，对数函数，幂函数，正弦函数，余弦函数的表达式，并指出它们的特性，例如，解析性（导数是什么），周期性，是否有界等。2.设函数在处分别有m级及n级零点,试问在处具有什么性质(解析？零点？可去奇点？极点？本性奇点？),并根据m,n的不同情况求出它们的留数(其中m,n为非负整数)3.描述什么是洛朗级数与泰勒级数，并说出它们的区别与关系是什么。（请就知道的尽量回答完整）4.试说明柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式是留数定理的特殊情况。第页6
