椭圆、双曲线的离心率取值范围求解方法一、利用三角形三边的关系建立不等关系（但要注意可以取到等号成立）例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.C.(3,+)D.【解析】，，（当且仅当三点共线等号成立）,选B例2、如果椭圆上存在一点P，使得点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．[解析]设，由题意及椭圆第二定义可知（当且仅当三点共线等号成立），把代入化简可得又,选B二、利用三角函数有界性结合余弦定理建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】设，，当点在右顶点处，．．三、利用曲线的几何性质数形结合建立不等关系例1：双曲线的两个焦点为，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为（）A.(1,3)B.C.(3,+)D.解：,,即在双曲线右支上恒存在点使得可知，又,选B例2．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，P是双曲线右支上一点，P到右准线的距离为d，若d、|PF2|、|PF1|依次成等比数列，求双曲线的离心率的取值范围。解：由题意得因为，所以，从而，1。又因为P在右支上，所以。。。例3．椭圆22221()xyabab的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（）（A）20,2（B）10,2（C）21,1（D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，即F点到P点与A点的距离相等，而|FA|＝w|PF|∈[a－c,a＋c]于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴m又e∈(0,1)故e∈答案：D例4、已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是．【解析】（由正弦定理得），，．又，，，由双曲线性质知，，即，得，又，得．例5、设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解析： P点满足∠F1PF2=90°，∴点P在以F1F2为直径的圆上又 P是椭圆上一点，∴以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点， F1、F2是椭圆的焦点∴以F1F2为直径的圆的半径r满足：r=c≥b，两边平方，得c2≥b2即c2≥a2-c2四、利用圆锥曲线中的范围建立不等关系2例1、双曲线的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【解析】而双曲线的离心率，例2、设点P在双曲线的左支上，双曲线两焦点为，已知是点P到左准线的距离和的比例中项，求双曲线离心率的取值范围。解析：由题设得：。由双曲线第二定义得：，由焦半径公式得：，则，即，解得。归纳：求双曲线离心率取值范围时可先求出双曲线上一点的坐标，再利用性质：若点在双曲线的左支上则；若点在双曲线的右支上则。例2．设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使∠=900，求离心率e的取值范围。解析1：设P（x，y），又知FcFc1200（，），（，），则FPxcyFPxcyFPFFPFPFPFPxcxcyxyc1212121222229000()()()()，，，由，知，则，即得将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得xacababFPFxaacababa2222222122222222229000但由椭圆范围及知即3可得，即，且从而得，且所以，）cbcaccaecaecae2222222221221[解析2：由焦半径公式得||||||||||PFaexPFaexPFPFFFacxexacxexcaexcxcaePxyxaxa12122212222222222222222222224220，又由，所以有即，又点（，）在椭圆上，且，则知，即022212222caeae得，）[例3已知椭圆=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，如果椭圆上存在点P，使得∠APB=1200，求椭圆的离心率e的取值范围．解：设P（x0，y0），由椭圆的对称性，不妨令0≤x0＜a,0＜y0≤b． A（a，0），B（a，0），∴=，=． ∠APB=1200，∴tan∠APB=-，又tan∠APB==，∴=，……①而点P在椭圆上，∴b2x02+a2y02=a2b2……②由①、②得y0=． 0＜y0≤b，∴0＜≤b． a＞b＞0，∴2ab≤（a2-b2），即4a2b2≤3c4，整理...
