第二讲三角恒等变换与解三角形[限时规范训练]一、选择题1．(2017·高考山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为()A.B.C．πD．2π解析：y＝sin2x＋cos2x＝2sin，T＝＝π.故选C.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()A．－B．－C.D.解析： sinα－cosα＝，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝，∴sin2α＝－.故选A.答案：A3．已知α∈，tan＝－7，则sinα的值等于()A.B．－C.D．－解析：因为tan＝－7，所以＝－7，得tanα＝－，即＝－.又α∈，所以α∈.又sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝，故选A.答案：A4．在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形解析： cos2＝，∴＝，∴1＋＝，化简得a2＋b2＝c2.故△ABC是直角三角形．答案：B5．在△ABC中，A＝60°，若a，b，c成等比数列，则＝()A.B.C.D.解析： a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，①又A＝60°，则由正弦定理得＝，即a＝，代入①得，b2＝，则b＝，所以＝sinA＝sin60°＝.故选B.答案：B6．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为()A.B.C．2D．2解析：由S△ABC＝bcsinA＝bc×＝，解得bc＝3.因为A为锐角，sinA＝，所以cosA＝，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据解得b2＋c2＝6，则(b＋c)2＝12，b＋c＝2，所以b＝c＝，故选A.答案：A7．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为()A.B．1C.D.解析：法一： f(x)＝sin＋cos＝＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＋cosx＋sinx＝sinx＋cosx＝sin，∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.故选A.法二： ＋＝，∴f(x)＝sin＋cos＝sin(x＋)＋cos(－x)＝sin＋sin＝sin≤.∴f(x)max＝.故选A.答案：A8．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝()A.B.C.D.解析：因为a＝2，c＝，所以由正弦定理可知，＝，故sinA＝sinC.又B＝π－(A＋C)，故sinB＋sinA(sinC－cosC)＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝(sinA＋cosA)sinC＝0.又C为△ABC的内角，故sinC≠0，则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝.从而sinC＝sinA＝×＝.由A＝知C为锐角，故C＝.故选B.答案：B二、填空题9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA＝acosB，则角B的大小为________．解析： bsinA＝acosB，由正弦定理，得sinBsinA＝sinAcosB. sinA≠0，∴sinB＝cosB， B为△ABC内角，∴B＝.答案：10．(2017·高考江苏卷)若tan＝，则tanα＝________.解析：法一： tan＝＝＝，∴6tanα－6＝1＋tanα(tanα≠－1)，∴tanα＝.法二：tanα＝tan＝＝＝.答案：11．(2017·高考北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则cos(α－β)＝________.解析：由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，sinβ＝sinα，cosβ＝－cosα.又sinα＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.答案：－12．在△ABC中，若C＝60°，AB＝2，则AC＋BC的取值范围为________．解析：设角A，B，C的对边分别为a，b，c.由题意，得c＝2.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2，得a＋b≤4.又由三角形的性质可得a＋b>2，综上可得2
