2016年高考数学热点题型和提分秘籍专题21平面向量的基本定理及其坐标表示理（含解析）新人教A版【高频考点解读】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【热点题型】题型一平面向量基本定理的应用【例1】(1)在△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若CB＝a，CA＝b，|a|＝1，|b|＝2，则CD＝()A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】(1)B(2)【提分秘籍】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【举一反三】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD＝xAB＋yAC，则x＝________，y＝________．【答案】1＋题型二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知平面向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝()A．(－2，－1)B．(－2，1)C．(－1，0)D．(－1，2)(2)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB＝(2，4)，AC＝(1，3)，则BD＝()A．(－2，－4)B．(－3，－5)C．(3，5)D．(2，4)【答案】(1)D(2)B【解析】(1)因为a＝，b＝，所以a－b＝(－1，2)．(2)由题意得BD＝AD－AB＝BC－AB＝(AC－AB)－AB＝AC－2AB＝(1，3)－2(2，4)＝(－3，－5)．【提分秘籍】向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则．【举一反三】(1)已知点A(－1，5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为()A．(7，4)B．(7，14)C．(5，4)D．(5，14)(2)在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC等于()A．(－2，7)B．(－6，21)C．(2，－7)D．(6，－21)【答案】(1)D(2)B题型三向量共线的坐标表示【例3】平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k；(2)若d满足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d的坐标．解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－.(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，|d－c|＝，∴解得或∴d的坐标为(3，－1)或(5，3)．【提分秘籍】(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；②若a∥b(a≠0)，则b＝λa.(2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【举一反三】(1)已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________．(2)已知向量a＝(3，1)，b＝(1，3)，c＝(k，7)，若(a－c)∥b，则k＝________．【答案】(1)(2，4)(2)5【高考风向标】【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21【答案】AxyBCAP【2015高考湖北，理11】已知向量，，则.【答案】9【解析】因为，，所以.1．（2014·重庆卷）已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－B．0C．3D.【答案】C【解析】 2a－3b＝2(k，3)－3(1，4)＝(2k－3，－6)，又(2a－3b)⊥c，∴(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.2．（2014·福建卷）在下列向量组中，可以把向量a＝(3，2)表示出来的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)【答案】B3．（2014·山东卷）已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图像过点和点.(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，...
