第九节空间向量的应用(二)题号1234567答案1．平面α经过三点A(－1，0，1)，B(1，1，2)，C(2，－1，0)，则下列向量中与平面α的法向量不垂直的是()A.B．(6，－2，－2)C．(4，2，2)D．(－1，1，4)解析：AB＝(2，1，1)，AC＝(3，－1，－1)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．得取y＝1，则n＝(0，1，－1)．选项D中的向量(－1，1，4)·(0，1，－1)＝1－4＝－3≠0.故选D.答案：D2．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，－，4B.，－，4C.，－2，4D．4，，－15解析：AB⊥BC⇒AB·BC＝3＋5－2z＝0，∴z＝4.又BP⊥平面ABC，∴BP·AB＝x－1＋5y＋6＝0，①BP·BC＝3x－3＋y－12＝0，②由①②得x＝，y＝－.答案：B3．方向向量为s＝(1，1，－2)的直线l经过点A(1，0，0)，则坐标原点O(0，0，0)到该直线的距离是()A.B.C.D.解析：直线l的一个单位法向量s0＝，向量OA＝(1，0，0)，故点O到直线l的距离为d＝＝＝.故选D.答案：D4．已知直二面角αlβ，点A∈α，AC⊥l，C为垂足．点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则D到平面ABC的距离等于()A.B.C.D．1解析： α⊥β，AC⊥l，∴AC⊥β，则平面ABC⊥β，在平面β内过D作DE⊥BC，E为垂足，则DE⊥平面ABC，DE即为D到平面ABC的距离，在△DBC中，运用等面积法得DE＝.故选C.答案：C5．已知非零向量a，b及平面α，若向量a是平面α的法向量，则“a·b＝0”是“向量b所在直线平行于平面α或在平面α内”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件1D．既不充分也不必要条件解析：根据向量与平面平行，以及平面的法向量与直线的方向向量之间的关系可知选项C正确．故选C.答案：C6．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2，1)，已知点P(－1，3，2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A．4B．2C．3D．1解析：OP＝(－1，3，2)，|OP|＝＝，|cos〈OP，n〉|＝＝＝.∴d＝×＝2.答案：B7．在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角(如下图)，则B，D间的距离为()A．1B．2C.D．2或解析： ∠ACD＝90°，∴AC·CD＝0.同理BA·AC＝0. AB和CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或120°. BD＝BA＋AC＋CD，∴BD2＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＋2BA·AC＋2AC·CD＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·CD＝3＋2×1×1×cos〈BA，CD〉＝∴|BD|＝2或，即B，D间的距离为2或.故选D.答案：D8．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝________．解析：因为α∥β，所以(－2，－4，k)＝λ(1，2，－2)，所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4.答案：49．已知正三棱锥PABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．解析：因为在正三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两互相垂直，所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分(如图所示)，此正方体内接于球，正方体的体对角线为球的直径，球心为正方体对角线的中点．球心到截面ABC的距离为球的半径减去正三棱锥PABC在面ABC上的高．已知球的半径为，所以正方体的棱长为2，可求得正三棱锥PABC在面ABC上的高为，所以球心到截面ABC的距离为－＝.答案：10．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则直线DA1与AC间2的距离为________．解析：设n＝λAB＋μAD＋AA1是A1D和AC的公垂线段上的向量，则n·A1D＝(λAB＋μAD＋AA1)·(AD－AA1)＝μ－1＝0，∴μ＝1.又n·AC＝(λAB＋μAD＋AA1)·(AB＋AD)＝λ＋μ＝0，∴λ＝－1.∴n＝－AB＋AD＋AA1.故所求距离为d＝＝＝＝.答案：11．已知PD⊥正方形ABCD所在平面，PD＝AD＝1，则点C到平面PAB的距离d＝________．解析：以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，所以AP＝(－1，0，1)，AB＝(0，1，0)，AC＝(－1，1，0)，CP＝(0，－1，1)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，所以即令x＝1，则z＝1，∴n＝(1，0，1)．所以d＝＝＝.答案：12．如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC为等腰直...
