解答题训练（3）1.已知锐角△ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，．（1）求证：角A、C、B成等差数列；（2）若△ABC的面积，求△ABC周长的最小值．1.解：(1)根据题意，在△ABC中，由正弦定理得即又，而在内单调递增即，角A、C、B成等差数列．(2)由及得又∴当且仅当时，取等号∴△ABC周长的最小值是62.正三棱柱中，点是的中点，，设．（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面．2.证明:（1）连结，设交于,连结．∵点是的中点,点是的中点，∴DE∥．…………3分∵平面,DE平面,∴∥平面．…………6分（2）∵是正三角形,点是的中点,∴.1∵平面平面,平面平面,平面,∴平面.∵平面,∴.……………9分∵点是中点,，∴．∵,∴Rt△∽Rt△．∴．∴＝．∴…………………………12分∵,∴⊥平面．………14分3.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方）表示成关于x的函数；（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．【答案】（1）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，△EMN的面积S==；②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜时，如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，∵E为AB中点，2EABGNDMC（第17题）ENGDMABC图1∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG＝.又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．∴，即．故△EMN的面积S＝＝；综合可得：（2）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有；②当MN在三角形区域滑动时，S=.因而，当（米）时，S得到最大值，最大值S=（平方米）.∵，∴S有最大值，最大值为平方米.4.给定椭圆C：，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点是椭圆C的“准圆”与轴正半轴的交点，是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点，过点作直线，使得与椭圆C都只有一个交点，试判断是否垂直？并说明理由．4.解：（1）由题意知，且，可得，故椭圆C的方程为，其“准圆”方程为．（2）由题意，可设，则有，又A点坐标为，故，3EABGNDMC图2HF故,又，故，所以的取值范围是．（3）设，则．当时，，则其中之一斜率不存在，另一斜率为0，显然有．当时，设过且与椭圆有一个公共点的直线的斜率为，则的方程为，代入椭圆方程可得，即，由，可得，其中，设的斜率分别为，则是上述方程的两个根，故，即．综上可知，对于椭圆上的任意点，都有．4
