考点测试50抛物线一、基础小题1．已知抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为()A.B．4C.D．5答案D解析由题意知，抛物线的准线方程为y＝－1，所以由抛物线的定义知，点A到抛物线焦点的距离为5.2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为()A．18B．24C．36D．48答案C解析如图，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)． 当x＝时，|y|＝p，∴p＝＝＝6.又P到AB的距离始终为p，∴S△ABP＝×12×6＝36.3．已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或B.或1C.或D.答案B解析焦点坐标为，当斜率不存在时，弦长为2p＝6，不符合题意，故此弦所在直线斜率存在设为k，所以方程为y＝k，代入y2＝6x得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0，设弦的两端点为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＋p＝12，即＋3＝12，k2＝1.∴k＝tanα＝±1，结合α∈[0，π)，可得α＝或π.4．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C．2D.－1答案D解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.5．抛物线y2＝2px的焦点为F，点A、B、C在此抛物线上，点A坐标为(1,2)．若点F恰为△ABC的重心，则直线BC的方程为()A．x＋y＝0B．x－y＝0C．2x＋y－1＝0D．2x－y－1＝0答案C解析 点A在抛物线上，∴4＝2p，p＝2.抛物线方程为y2＝4x，焦点F(1,0)．设点B(x1，y1)，点C(x2，y2)，则有y＝4x1，①y＝4x2，②由①－②，得(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，得kBC＝＝.又 ＝0，∴y1＋y2＝－2.∴kBC＝－2.又 ＝1，∴x1＋x2＝2.∴BC中点为(1，－1)，则BC所在直线方程为y＋1＝－2(x－1)，即2x＋y－1＝0.6．若抛物线y2＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋b对称，且y1y2＝－1，则实数b的值为()A．－B.C.D．－答案A解析直线AB的斜率为kAB＝＝＝－1，所以y1＋y2＝－2，y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝6.线段AB的中点为＝＝，代入y＝x＋b，得b＝－.故选A.7．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案y2＝4x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.答案2解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，∴∠MNP＝，即∠NMF＝.二、高考小题9．[2016·四川高考]抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0,1)C．(2,0)D．(1,0)答案D解析 抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为，∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，故选D.10．[2016·全国卷Ⅱ]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2答案D解析由题意得点P的坐标为(1,2)．把点P的坐标代入y＝(k>0)，得k＝1×2＝2，故选D.11．[2014·辽宁高考]已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－答案C解析由点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，得焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－，故选C.12．[2014·四川高考]已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()A．2B．3C.D.答案B解析如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则OA＝(m2，m)，OB＝(n2，n)，OA·OB＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2. lAB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0)．S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，则S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥2＝3，当且仅当m＝，即m＝时等号成立．故△ABO与△AFO面积之和的最小...
