专题研究3圆锥曲线中定点、定值问题1.已知a,b满足2a+3b=1,则直线4x+ay-2b=0必过的定点为()A.(,)B.(,-)C.(,)D.(,-)答案D解析 2a+3b=1,又由4x+ay-2b=0,得-a+b=1,∴∴选D.2.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,则+=________.答案3.已知曲线C:y2=2px(p>0).O为原点,A,B是C上两个不同点,且OA⊥OB,则直线AB过定点________.答案(2p,0)4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为e=,其左、右焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,设点M(x1,y1),N(x2,y2)是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:x12+x22为定值,并求该定值.答案(1)+y2=1(2)4解析(1)依题意,c=,而e=,∴a=2,b2=a2-c2=1,则椭圆C的方程为+y2=1.(2)由于·=-,则x1x2=-4y1y2,x12x22=16y12y22.而+y12=1,+y22=1,则1-=y12,1-=y22,∴(1-)(1-)=y12y22,则(4-x12)(4-x22)=16y12y22,(4-x12)(4-x22)=x12x22,展开,得x12+x22=4为一定值.5.(2017·课标全国Ⅰ,理)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.答案(1)+y2=1(2)定点(2,-1)解析(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上,因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为(t,),(t,-).则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=.由题设知k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0,即(2k+1)·+(m-1)·=0,解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,1于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).6.(2018·湖南师大附中月考)如图,抛物线C1:y2=8x与双曲线C2:-=1(a>0,b>0)有公共焦点F2,点A是曲线C1,C2在第一象限的交点,且|AF2|=5.(1)求双曲线C2的方程;(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切,圆N:(x-2)2+y2=1,已知点P(1,),过点P作互相垂直且分别与圆M,圆N相交的直线l1,l2,设l1被圆M截得的弦长为s,l2被圆N截得的弦长为t,试探索是否为定值?请说明理由.答案(1)x2-=1(2)定值解析(1) 抛物线C1:y2=8x的焦点为F2(2,0),∴双曲线C2的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).设A(x0,y0)(x0>0,y0>0)为抛物线C1和双曲线C2在第一象限的交点,且|AF2|=5,由抛物线的定义得x0+2=5,∴x0=3,∴|AF1|==7.又 点A在双曲线上,由双曲线的定义得2a=|AF1|-|AF2|=7-5=2,∴a=1.∴b==.∴双曲线C2的方程为x2-=1.(2)为定值.理由如下:设圆M的方程为(x+2)2+y2=r2,双曲线的渐近线方程为y=±x. 圆M与渐近线y=±x相切,∴圆的半径为r==,故圆M:(x+2)2+y2=3.依题意l1,l2的斜率存在且均不为零,∴设l1的方程为y-=k(x-1),即kx-y+-k=0,l2的方程为y-=-(x-1),即x+ky-k-1=0,∴点M到直线l1的距离d1=,点N到直线l2的距离d2=.∴直线l1被圆M截得的弦长s=2=2,直线l2被圆N截得的弦长t=2=2.∴==,故为定值.7.(2018·甘肃高台县一中检测)如图,设直线l:y=k(x+)与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N,且当k=时,弦MN的长为4.(1)求抛物线C的标准方程;(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ过点B(1,-1),求证:直线NQ过定点.答案(1)y2=4x(2)定点(1,-4)解析(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),当k=时,直线l:y=(x+),即x=2y-,联立得即y2-4py+p2=0.所以y1+y2=4p,y1y2=p2,于是得|MN|=|y1-y2|=×=2|p|=4,又p>0,所以p=2,即抛物线C的标准方程为y2=4x.(2)设点M(4t2,4t),N(4t12,4t1),Q(4t...