函数的概念与性质[复习导读]__________________________________函数是中学数学的核心概念，函数的概念与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以选择题、填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查．备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强数形结合思想、分类讨论思想．函数与方程思想的应用意识．[题型突破]__________________________________强化点1函数的定义域与解析式(1)(2015·湖北卷)函数f(x)＝＋lg的定义域为()A．(2，3)B．(2，4]C．(2，3)∪(3，4]D．(－1，3)∪(3，6](2)(2014·湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：(1)法一当x＝3和x＝5时，函数均没有意义，故可以排除选项B，D；当x＝4时，函数有意义，可排除选项A，故选C.法二由得故函数定义域为(2，3)∪(3，4]，故选C.(2)法一 f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由题意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝1.法二令f(x)＝x2＋1，g(x)＝－x3，显然符合题意，∴f(1)＋g(1)＝12＋1－13＝1.答案：(1)C(2)C1．本例(1)考查了函数定义域的求法，绝对值不等式和分式不等式的求解，注重考查运算求解能力，在利用数轴求交集时，考查了数形结合思想的应用．2．在求解(2)时，巧妙地沟通未知与已知的内在联系，先求出f(x)＋g(x)的表达式，进而求出f(1)＋g(1)的值，解法简捷明快．【变式训练】(2016·武汉一模)若函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是________．解析：由题意知2x2＋2ax－a－1≥0恒成立，∴x2＋2ax－a≥0恒成立，∴Δ＝4a2＋4a≤0，∴－1≤a≤0.答案：[－1，0]强化点2函数的值域与最值(2015·浙江卷)已知函数f(x)＝1则f(f(－2))＝________，f(x)的最小值是________．解析：f(f(－2))＝f(4)＝4＋－6＝－，当x≤1时，f(x)min＝0；当x＞1时，f(x)＝x＋－6.令f′(x)＝1－＝0，解得x＝(负值舍去)．当1＜x＜时，f′(x)＜0；当x＞时，f′(x)＞0，∴f(x)的最小值为f()＝＋－6＝2－6.综上，f(x)的最小值是2－6.答案：－2－6本题运用分段函数问题分段求解的方法，同时利用导数研究函数的最值，体现了分类讨论思想、转化与化归思想的应用．【变式训练】(2016·唐山一中月考)已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m则为()A.B.C.D.解析： －2≤x≤2，y2＝4＋2，∴当x＝0时，M＝2，当x＝±2时，m＝2.∴＝＝.答案：B强化点3函数性质的综合应用(多维探究)高考常将函数的单调性、奇偶性、周期性综合考查，常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性渗透；(2)周期性与奇偶性交汇；(3)单调性、奇偶性、周期性综合交汇命题．角度一单调性与奇偶性交汇1．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f(loga)≤2f(1)，则a的取值范围是()A．[1，2]B.C.D．(0，2]解析： f(loga)＝f(－log2a)＝f(log2a)，∴原不等式可化为f(log2a)≤f(1)．又 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，∴0≤log2a≤1，即1≤a≤2. f(x)是偶函数，∴f(log2a)≤f(－1)．又f(x)在区间(－∞，0]上单调递减，∴－1≤log2a≤0，∴≤a≤1.综上可知≤a≤2.答案：C角度二奇偶性与周期性的应用2．(2014·安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝2则f＋f＝________．解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.答案：角度三单调性、奇偶性与周期性综合交汇3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)解析： f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． f(x)在区间[0，2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2...
