高中数学 黄金100题系列 第65题 空间角的计算 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第65题空间角的计算I．题源探究·黄金母题【例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EFPB交PB于点F.(1)求证:PA//平面EDB;(2)求证:PB平面EFD;(3)求二面角C-PB-D的大小.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600.【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.yxz图3.2-8GEADBCPF（3）解:已知PBEF,由(2)可知PBDF,故EFD是二面角C-PB-D的平面角.设点F的坐标为(x,y,z),则.因为,所以,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,所以，点F的坐标为。又点E的坐标为，所以，因为，即EFD=600，即二面角C-PB-D的大小为600.【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.II．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II理10】已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】分析：如图所示，补成四棱柱,则所求角为因此，故选C。【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90°．沿直线AC将△ACD翻折成△，直线AC与所成角的余弦的最大值是______．【答案】【解析】分析：设直线与所成角为．设是中点，由已知得，如图，以为轴，为轴，过与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，由，，，作于，翻折过程中，始终与垂直，，则，，因此可设，则，与平行的单位向量为，所以＝，所以时，取最大值．HD'DCBAzyxO【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与平行的单位向量和，进而可得直线与所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线与所成角的余弦值的最大值．【例4】【2017浙江9】如图，已知正四面体D–ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC，CA上的点，AP=PB，，分别记二面角D–PR–Q，D–PQ–R，D–QR–P的平面角为α，β，γ，则A．γ<α<βB．α<γ<βC．α<β<γD．β<γ<α【答案】B【解析】设O为三角形ABC中心，则O到PQ距离最小，O到PR距离最大，O到RQ距离居中，而高相等.【例5】【2017课标3理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，，连结AD，等腰△ABD中，,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性,为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线与所成的最大角为90°，④错误.正确的说法为②③.【例6】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD，就可证明出AB⊥平面PAD.进而证明平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设是平面的法向量，是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二...