课下层级训练(十五)变化率与导数、导数的运算[A级基础强化训练]1．若f(x)＝xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)等于()A．1－sinxB．x－sinxC．sinx＋xcosxD．cosx－xsinx【答案】D[f(x)＝xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)＝cosx－xsinx．]2．(2019·山东济宁检测)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝()A．1B．2C．3D．4【答案】B[由条件知f′(5)＝－1，又在点P处切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8，∴5＋f(5)＝8，∴f(5)＝3，∴f(5)＋f′(5)＝2.]3．曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1【答案】C[ y＝xex－1，∴y′＝ex－1＋xex－1.∴k＝y′|x＝1＝e0＋e0＝2.]4.(2019·陕西西安月考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为()A．4B．3C．2D．1【答案】B[f′(x)＝alnx＋a， f′(1)＝3，∴a＝3.]5．已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为()A．eB．－eC．D．－【答案】C[y＝lnx的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0，0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，所以k＝y′|x＝x0＝＝.]6．(2019·山东泰安模拟)若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．2【答案】C[依题意得，f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin0＝2×0＋b，则b＝0，又m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.]7．(2019·山东德州联考)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值是()A．eB．2eC．1D．2【答案】C[由函数的解析式可得y′＝aex＋1，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝aex0＋1.令aex0＋1＝2可得x0＝ln，则函数在点(x0，aex0＋x0)，即处的切线方程为y－1－ln＝2，整理可得2x－y－ln＋1＝0.结合题中所给的切线2x－y＋1＝0，得－ln＋1＝1，∴a＝1.]8．曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为________________.【答案】y＝－2x＋1[由题意可得：y′＝－，所以在点(1，－1)处的切线斜率为－2，所以在点(1，－1)处的切线方程为：y＝－2x＋1.]9．(2019·山东邹城月考)曲线y＝－2sinx在x＝处的切线的倾斜角大小为________.【答案】135°[函数的导数f′(x)＝－2cosx，则当x＝时，f′＝－1，即k＝tanα＝－1，则α＝135°.]10．(2019·山东淄博月考)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.【答案】[由题意得y′＝2ax－， 在点(1，a)处的切线平行于x轴，∴2a－1＝0，得a＝.][B级能力提升训练]11．(2019·山东临沂联考)已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为()A．2B．4C．6D．8【答案】B[ 曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2， 函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2，∴f′(1)＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.]12．已知函数f(x)＝alnx＋bx2的图象在点P(1，1)处的切线与直线x－y＋1＝0垂直，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3【答案】D[由已知可得P(1，1)在函数f(x)的图象上，所以f(1)＝1，即aln1＋b＝1，解得b＝1，所以f(x)＝alnx＋x2，故f′(x)＝＋2x.则函数f(x)的图象在点P(1，1)处的切线的斜率k＝f′(1)＝a＋2，因为切线与直线x－y＋1＝0垂直，所以a＋2＝－1，即a＝－3.]13．(2019·辽宁阜新月考)已知曲线y＝xlnx的一条切线为y＝2x＋b，则实数b的值是________.【答案】－e[设切点为(x0，x0lnx0)，对y＝xlnx求导数，得y′＝lnx＋1，∴切线的斜率k＝lnx0＋1，故切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，整理得y＝(lnx0＋1)x－x0，与y＝2x＋b比较得lnx0＋1＝2且－x0＝b，解得x0＝e，故b＝－e.]14．已知函数f(x)＝lnx＋tanα，α∈的导函数为f′(x)，若使得f′(x0)＝f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为__________.【答案】[ f′(x)＝，∴f′(x0)＝，由f′(x0)＝f(x0)，得＝lnx0＋tanα，∴tanα＝－lnx0.又0
