第2讲解三角形(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号正弦定理、余弦定理、三角形面积公式解三角形1,3,4,6,8,9,10三角函数与解三角形的综合2,5,7,11一、选择题1.(2018·辽宁葫芦岛二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosC+csinBcosA=b,且a>b,则B等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为asinBcosC+csinBcosA=b,所以根据正弦定理可得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB,即sinB(sinAcosC+sinCcosA)=sinB,因为sinB≠0,所以sin(A+C)=,即sinB=,因为a>b,所以A>B,即B为锐角,所以B=.故选A.2.(2018·吉林百校联盟九月联考)已知tanB=2tanA,且cosAsinB=,则cos（A-B-）等于(D)(A)-(B)(C)-(D)解析:由tanB=2tanA,可得cosAsinB=2sinAcosB,又cosAsinB=,所以sinAcosB=,则cos（A-B-）=-sin(A-B)=-sinAcosB+cosAsinB=.故选D.3.(2018·天津河西区三模)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2B-sin2C-sin2A=sinAsinC,则B的大小为(D)(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°解析:因为sin2B-sin2C-sin2A=sinAsinC,所以b2-c2-a2=ac,即a2+c2-b2=-ac,则cosB==-,又00,上式化为+t=+(2t+1)-≥2-=.当且仅当2t+1=2,即t=,可得c=2b,又bc=8,解得c=4,b=2时,等号成立;所以+的最小值为.故选C.二、填空题7.(2018·漳州二模)在△ABC中,a=2,∠C=,tan=,则△ABC的面积等于.解析:tanB===,因为sin2B+cos2B=1,所以sinB=,cosB=,所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=,由=,可得b==,所以S△ABC=absinC=×2××=.答案:8.(2018·青海西宁二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若bsinB-asinA=asinC,且△ABC的面积为a2sinB,则cosB=.解析:因为△ABC的面积为a2sinB,所以acsinB=a2sinB,即c=2a,由bsinB-asinA=asinC,得b2-a2=ac=a2,即b=a,则cosB==.答案:9.(2018·福建三校联考)如图,在路边安装路灯,路宽为OD,灯柱OB长为10米,灯杆AB长为1米,且灯杆与灯柱成120°角,路灯采用圆锥形灯罩,其轴截面的顶角为2θ,灯罩轴线AC与灯杆AB垂直.若灯罩截面的两条母线所在直线一条恰好经过点O,另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是米.解析:在三角形AOB中,由余弦定理可得OA=,由正弦定理得sin∠BAO=,所以cosθ=sin∠BAO=,sinθ=,则sin2θ=2sinθcosθ=,sin∠AEO=sin(60°-θ)=,在三角形AOE中,由正弦定理可得OE==(米).答案:三、解答题10.(2018·威海二模)在△ABC中,边BC上一点D满足AB⊥AD,AD=DC.(1)若BD=2DC=2,求边AC的长;(2)若AB=AC,求sinB.解:(1)因为AB⊥AD,所以在Rt△ABD中,sin∠ABD==,所以∠ABD=60°,△ABC中,AB=1,BC=3,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=1+9-2×3×=7.所以AC=.(2)在△ACD中,由正弦定理可得=,因为AD=DC,所以=,因为AB=AC,所以B=C,所以∠BAC=180°-2B,因为∠BAD=90°,所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=180°-2B-90°=90°-2B,所以=,所以=,化简得2sin2B+sinB-=0,因为sinB>0,所以sinB=.11.(2018·东北三校二模)已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sinA+sinC)=b(sinA-sinB).(1)求角C;(2)若△ABC的外接圆半径为2,求△ABC周长的最大值.解:(1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),所以a2-c2=ab-b2,所以=,即cosC=,因为0
