核心素养测评四十九直线与圆、圆与圆的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·徐州模拟)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为()A.(x+2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y+2)2=1C.(x+2)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y-2)2=1【解析】选B.圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1的圆心坐标为(-1,1),关于直线x-y-1=0对称的圆心坐标为(2,-2),所求的圆C2的方程为(x-2)2+(y+2)2=1.2.若圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,则m=()A.21B.19C.9D.-11【解析】选C.圆C1的圆心是原点(0,0),半径r1=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圆心C2(3,4),半径r2=,由两圆相外切,得|C1C2|=r1+r2=1+=5,所以m=9.3.过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.B.2C.2D.4【解析】选D.过点(0,1)且倾斜角为的直线l为y-1=x,即x-y+1=0,因为圆x2+y2-6y=0,即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,圆心到直线l:x-y+1=0的距离d==1,所以直线被圆截得的弦长l=2=4.4.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则点P(b,a)与圆C的位置关系1是()A.点在圆上B.点在圆外C.点在圆内D.不能确定【解析】选C.直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1无交点,则>1,即a2+b2<1,所以点P(b,a)在圆C内部.5.(多选)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-4x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直,则实数k的取值可以是()A.1B.2C.3D.4【解析】选AB.圆C的方程为x2+y2-4x=0,则圆心为C(2,0),半径R=2.设两个切点分别为A、B,则由题意可得四边形PACB为正方形,故有PC=R=2,所以圆心到直线y=k(x+1)的距离小于或等于PC=2,即≤2,解得k2≤8,可得-2≤k≤2,所以实数k的取值可以是1,2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·合肥模拟)已知圆C1:(x-a)2+(y+2)2=4与圆C2:(x+b)2+(y+2)2=1相外切,则ab的最大值为________.2【解析】由已知得圆C1的圆心C1(a,-2),圆C2的圆心C2(-b,-2),由两圆外切可知|a+b|=3,故a2+2ab+b2=9,所以4ab≤9,所以ab≤.答案:7.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是________.【解析】切线平行于直线2x+y+1=0,故可设切线方程为2x+y+c=0(c≠1),结合题意可得=,解得c=±5.答案:2x+y+5=0或2x+y-5=08.(2020·杭州模拟)已知直线l:x+y-m=0被圆C:x2+y2-2x-3=0截得的弦长为2,则圆心C到直线l的距离是________,m=________.【解析】圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,圆心C(1,0),半径r=2,根据几何法得:d===1,所以|1-m|=2,得m=-1或3.答案:1-1或3三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知点P(2,0)及圆C:x2+y2-6x+4y+4=0.(1)当直线l过点P且与圆心C的距离为1时,求直线l的方程.(2)设过点P的直线与圆C交于A,B两点,当AB=4时,求以线段AB为直径的圆的方程.【解析】(1)由x2+y2-6x+4y+4=0,得(x-3)2+(y+2)2=9,所以圆心为C(3,-2),半径r=3;若直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,则方程为y=k(x-2),因为直线l与圆心C(3,-2)的距离为1,所以=1,解得k=-;3所以直线l的方程为y=-(x-2),即3x+4y-6=0;当直线l的斜率k不存在时,l的方程为x=2,满足题意;所以直线l的方程为3x+4y-6=0或x=2.(2)因为圆的半径r=3,AB=4,所以弦心距d==,又CP=,所以点P(2,0)为AB的中点,所以以线段AB为直径的圆的方程为(x-2)2+y2=4.10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆M经过点A(1,0),B(3,0),C(0,1).(1)求圆M的方程.(2)若直线l:mx-2y-(2m+1)=0与圆M交于点P,Q,且·=0,求实数m的值.【解析】(1)方法一(待定系数法):设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以圆M的方程为x2+y2-4x-4y+3=0.方法二(直接法):线段AC的垂直平分线的方程为y=x,线段AB的垂直平分线的方程为x=2,由解得M(2,2).所以圆M的半径r=AM=,所以圆M的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.(2)因为·=0,所以∠PMQ=.又由(1)得MP=MQ=r=,所以点M到直线l的距离d=.由点到直线的距离公式可知,=,解得m=±.(15分钟35分)41.(5分)已知k∈R,点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x2+y2=k2-2k+3的公共点,则ab的最大值为()A.15B.9C.1D.-【解析】选B.由题意得,原点到直线x+y=2k的距离d=≤,且k2-2k+3>0,解得-3≤k≤1,因为2ab=(a+b)2-(a2+b2)=4k2-(k2-2k+3)=3k2+2k-3,所以当k=-3时,ab取得最大值9.2.(5分)(2019·江西模拟)已知圆O:x2+y2=9,过点C(2,1)的直线l与...
