第四节二次函数与幂函数【最新考纲】1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．二次函数(1)二次函数的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象与性质函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0)图象定义域R值域单调性在上减在上增在上增在上减对称性函数的图象关于x＝－对称2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.()(3)函数y＝2x是幂函数．()(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．已知点M在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为()A．f(x)＝x2B．f(x)＝x－2C．f(x)＝xD．f(x)＝x－解析：设f(x)＝xα，则有3＝，即3＝3－，∴－＝1，∴α＝－2，∴f(x)＝x－2.答案：B3．(2016·佛山模拟)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．解析：f(x)＝x2＋(a－4)x－4a，由f(x)是偶函数知a－4＝0，所以a＝4.答案：44．函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________．解析：二次函数f(x)的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.答案：(－∞，－2]5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________．解析：由，解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合．答案：1或2一个核心二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，充分利用二次函数的图象是探求解题思路的有效方法．一个结论ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立的充要条件是一个特征幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α＞0时，图象过原点和(1，1)，第一象限的图象上升；α＜0时，图象不过原点，过(1，1)，第一象限的图象下降，反之也成立．两种方法函数y＝f(x)对称轴的判断方法1．对于二次函数y＝f(x)，如果对定义域内所有x都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)的图象关于x＝对称．2．对于二次函数y＝f(x)，如果对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)．一、选择题1．(2016·孝感调研)函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是()A．－1B．2C．3D．－1或2解析：f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m＝2.答案：B2．(2016·济南外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为()A．1，3B．－1，1C．－1，3D．－1，1，3解析：因为函数为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，y＝x，y＝x3函数的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案：A3．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是()解析：由a＋b＋c＝0，a＞b＞c知a＞0，c＜0，则＜0，排除B、C.又f(0)＝c＜0，所以也排除A.答案：D4．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意的x都有f(x＋1)＝f(－x)，那么()A．f(－2)＜f(0)＜f(2)B．f(0)＜f(－2)＜f(2)C．f(2)＜f(0)＜f(－2)D．f(0)＜f(2)＜f(－2)解析：由f(1＋x)＝f(－x)知f(x)的图象关于直线x＝对称，又抛物线f(x)开口向上，∴f(0)＜f(2)＜f(－2)．答案：D5．若关于x的不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是()A．a＜－2B．a＞－2C．a＞－6D．a＜－6解析：不等式x2－4x－2－a＞0在区间(1，4)内有解等价于a＜(x2－4x－2)max，令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1，4)，所...
