高考数学二轮复习 专题三 不等式 第2讲 基本不等式与线性规划课时训练-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲基本不等式与线性规划1.(2018·南通、泰州一调)若实数x，y满足则2x－y的最大值为________．答案：5解析：令z＝2x－y，作出平面区域(如图)，设直线l0：y＝2x，将l0平移，当l0经过点B(4，3)时，z取最大值为8－3＝5.2.已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．答案：36解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.3.(2018·苏州一调)已知变量x，y满足则z＝2x－3y的最大值为________．答案：－9解析：画出的可行域，如图，平移直线y＝x－z，当直线经过点(0，3)时，直线截距最小，此时z＝2x－3y取得最大值，为2×0－3×3＝－9.4.若a，b都是正数，则(1＋)(1＋)的最小值为________．答案：9解析：因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a时取等号．5.(2018·扬州期末)若实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________．答案：解析：首先作出如图所示的可行域，设P(x，y)表示可行域内任意一点，则x2＋y2的几何意义就是OP2，它的最大值就是OA2＝42＋32＝25，最小值就是原点O到直线3x＋4y＝12的距离的平方，即＝，故x2＋y2的取值范围是.6.设a>0，b>0，若是3a与32b的等比中项，则＋的最小值为________．答案：8解析：由题可知3a·32b＝()2，则a＋2b＝1，所以＋＝(＋)(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当a＝2b＝时等号成立．7.(2018·日照模拟)已知变量x，y满足则z＝()2x＋y的最大值为________．答案：4解析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝()2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A(1，2)时，m取得最大值，所以zmax＝()2×1＋2＝4.8.已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值等于________．答案：－1解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y能和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.9.(2018·河南百校联盟模拟)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．答案：解析： a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝×≥(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.10.过定点P(1，2)的直线在x轴正半轴、y轴正半轴上的截距分别为a，b，则4a2＋b2的最小值为________．答案：32解析：根据题意设直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，则＋＝1.由基本不等式可得＋≥2＝，即1≥，≥2，ab≥8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以4a2＋b2≥4ab≥32，当且仅当a＝2，b＝4时取等号，故4a2＋b2的最小值为32.11.已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋＋≥8；(2)(1＋)(1＋)≥9.证明：(1)因为a＋b＝1，a>0，b>0，＋＋＝2(＋)，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，所以＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立)．(2)(证法1)因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，所以(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9，所以(1＋)(1＋)≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立)．(证法2)(1＋)(1＋)＝1＋＋＋，由(1)知，＋＋≥8，故(1＋)(1＋)＝1＋＋＋≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立．12.长方体的表面积为48，所有棱长的和为36，求长方体体积的取值范围．解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则ab＋bc＋ca＝24，a＋b＋c＝9，对特殊长方体的两端为正方形，故可令a＝c，所以体积V＝abc＝a(24－9a＋a2)，设V(a)＝a(24－9a＋a2)，则V′(a)＝3(a－2)(a－4)．(解法1)由于＝≥＝，可得1≤a≤5，列表如下：a[1，2)2(2，4)4(4，5]V′(a)＋0－0＋V(a)极大值极小值又当a＝1或a＝4时V＝16，a＝2或a＝5时V＝20，所以体积的取值范围是[16，20]．(解法2)因为b＋c≥2，所以由已知条件可得9－a≥2，所以1≤a≤5，列表如下：a[1，2)2(2，4)4(4，5]V′(a)＋0－0＋V(a)极大值极小值又当a＝1或a＝4时V＝16，a＝2或a＝5时V＝20，所以体积的取值范围是[16，20]．13.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产...