第3讲不等式及线性规划一、选择题1．若实数a，b∈R且a>b，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2B.>1C．2a>2bD．lg(a－b)>0解析：根据函数的图象与不等式的性质可知：当a>b时，2a>2b，故选C.答案：C2．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解得－33，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．答案：A3．已知a∈R，不等式≥1的解集为p，且－2∉p，则a的取值范围为()A．(－3，＋∞)B．(－3,2)C．(－∞，2)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪[2，＋∞)解析： －2∉p，∴<1或－2＋a＝0，解得a≥2或a<－3.答案：D4．若对任意正实数x，不等式≤恒成立，则实数a的最小值为()A．1B.C.D.解析：因为≤，即a≥，而＝≤(当且仅当x＝1时取等号)，所以a≥.答案：C5．(2018·兰州模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x·y的最大值为()A．16B．8C．4D．3解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．又z＝2x·y＝2x－y，令u＝x－y，则直线u＝x－y在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax＝24－0＝16.答案：A6．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bd；④若a>b，则>.其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①由ac2>bc2，得c≠0，则a>b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，当d－2，但<.故正确的命题有2个．答案：B7．(2018·成都质检)若实数x，y满足不等式组且x－y的最大值为5，则实数m的值为()A．0B．－1C．－2D．－5解析：根据不等式组，作出可行域如图中阴影部分所示，令z＝x－y，则y＝x－z，当直线y＝x－z过点B(1－m，m)时，z取得最大值5，所以1－m－m＝5⇒m＝－2.答案：C8．对于函数f(x)，如果存在x0≠0，使得f(x0)＝－f(－x0)，则称(x0，f(x0))与(－x0，f(－x0))为函数图象的一组奇对称点．若f(x)＝ex－a(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(1，＋∞)C．(e，＋∞)D．[1，＋∞)解析：因为存在实数x0(x0≠0)，使得f(x0)＝－f(－x0)，则ex0－a＝－e－x0＋a，即ex0＋＝2a，又x0≠0，所以2a＝ex0＋>2＝2，即a>1.答案：B9．(2018·长沙模拟)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是()A．0B．－2C．2D．6解析：1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，即变量x，y满足约束条件即作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，可得x－2y在A(2，－1)，C(4,3)处取得最大值、最小值分别为4，－2，其和为2.答案：C10．已知函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式(x2－2x－3)f′(x)>0的解集为()2A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－∞，－2)∪(1,2)C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)解析：由f(x)的图象可知，在(－∞，－1)，(1，＋∞)上，f′(x)>0，在(－1,1)上，f′(x)<0.由(x2－2x－3)·f′(x)>0，得或即或所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．答案：D11．(2018·九江模拟)已知点P(x，y)满足过点P的直线与圆x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A．2B．2C．2D．4解析：不等式组所表示的平面区域为△CDE及其内部(如图)，其中C(1,3)，D(2,2)，E(1,1)，且点C，D，E均在圆x2＋y2＝14的内部，故要使|AB|最小，则AB⊥OC，因为|OC|＝，所以|AB|＝2×＝4，故选D.答案：D12．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元B．16万元C．17万元D．18万元解析：根据题意，设每天生产甲x吨，乙y吨，则目标函数为z＝3x＋4y，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，3作出直线3x＋4y＝0并平移，易知当直线经过点A(2，3)时，z取得最大值且zmax＝3×2＋...
