专题跟踪训练(五)一、选择题1．(2015·江西九校联考(一))曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.[解析]由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex|x＝0＝e0＝1，故选A.[答案]A2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝()A．1B．－1C．－e－1D．－e[解析]依题意得，f′(x)＝2f′(e)＋，取x＝e得f′(e)＝2f′(e)＋，由此解得f′(e)＝－＝－e－1，故选C.[答案]C3．(2015·洛阳期末)函数f(x)＝exsinx的图象在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.[解析]因为f′(x)＝exsinx＋excosx，所以f′(0)＝1，即曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为1，所以在点(0，f(0))处的切线的倾斜角为，故选C.[答案]C4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()A．(－1,2)B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3,6)D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[解析]f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为函数f(x)有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.[答案]B5．(2015·云南师大附中月考)若函数f(x)＝x3－tx2＋3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是()A.B．(－∞，3]C.D．[3，＋∞)[解析]f′(x)＝3x2－2tx＋3，由于f(x)在区间[1,4]上单调递减，则有f′(x)≤0在[1,4]上恒成立，即3x2－2tx＋3≤0，即t≥在[1,4]上恒成立，因为y＝在[1,4]上单调递增，所以t≥＝，故选C.[答案]C6．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)[解析]2xlnx≥－x2＋ax－3恒成立，即a≤2lnx＋x＋恒成立．设h(x)＝2lnx＋x＋，则h′(x)＝(x>0)．当x∈(0,1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.[答案]B二、填空题7．(2015·青岛模拟)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.[解析]因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.[答案]8．若函数f(x)＝x＋asinx在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．[解析] f′(x)＝1＋acosx，∴要使函数f(x)＝x＋asinx在R上单调递增，则1＋acosx≥0对任意实数x都成立． －1≤cosx≤1，①当a>0时，－a≤acosx≤a，∴－a≥－1，∴0
0)．由y＝x2－lnx得y′＝2x－，∴直线l的斜率k＝2x0－，易知k＝－1，则x0＝或x0＝－1(舍去)，∴P，＋ln2，故所求的最短距离即为点P，＋ln2到直线4x＋4y＋1＝0的距离d＝＝(1＋ln2)．[答案](1＋ln2)三、解答题10．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值．(2)求函数f(x)的极值．[解](1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－，又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0.得ex＝a，x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．11．(2015·贵阳二模)已知函数f(x)＝x2＋lnx.(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方．[解](1) f′(x)＝x＋>0在[1，e]上恒成立，∴函数f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(e)＝e2＋1.(2)证明：设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，则F′(x)＝x＋－2x2＝，当...
