课时跟踪检测(六十一)不等式的证明1．如果x＞0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．解：(－1)2－(＋1)2＝[(－1)＋(＋1)][(－1)－(＋1)]＝－4．因为x＞0，所以＞0，所以－4＜0，所以(－1)2＜(＋1)2．2．设不等式|2x－1|＜1的解集为M．(1)求集合M．(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1．所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0．故ab＋1＞a＋b．3．(2017·重庆第一次适应性测试)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1．(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；(2)求证：＋＋≥2．证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤．(2)因为≥，≥，≥，所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥2a＋2b＋2c＝2．4．若a>0，b>0，且＋＝．(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4．(2)由(1)知，2a＋3b≥2≥4．由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6．5．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a．(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3．解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3．(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3．6．(2016·海口调研)设函数f(x)＝|x－a|．(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋4n≥2＋3．解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，∴或或解得x≤－2或x≥5，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f(x)≤1即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]，∴解得a＝1，∴＋＝1(m＞0，n＞0)，∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n时取等号)．7．已知函数f(x)＝|x－1|．(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞f．解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2．所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为．(2)证明：＞f等价于f(ab)＞|a|f，即|ab－1|＞|a－b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．8．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤．解：(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1．所以f(x)≤1的解集为M＝．(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得162≤4，解得－≤x≤．因此N＝，故M∩N＝．当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤．
