命题角度5：恒成立与存在性问题1.设函数.(1)关于的方程在区间上有解，求的取值范围；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题解析：（1）方程即为，令，则，当时，随变化情况如表：↗极大值↘，当时，，的取值范围是.（2）依题意，当时，恒成立，令，则，令，则当时，，函数在上递增，，存在唯一的零点，且当时，，当时，，则当时，，当时，，在上递减，在上递增，从而，由得，两边取对数得，，即实数的取值范围是.2.已知函数在点处的切线方程为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）若存在，满足，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【解析】试题分析：（I）利用导数求得切线方程，将其和已知的切线方程对比，可得.（II）将原不等式分离常数，得到在上有解，令，利用其二阶导数判断出在区间上单调递减，求得其最小值，进而得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.因为，所以.所以函数在点处的切线方程为，即.已知函数在点处的切线方程为，比较求得.所以实数的值为.所以函数在区间上单调递减.所以.所以，即在区间上单调递减.所以.所以实数的取值范围为.点睛：本题主要考查函数导数与切线，函数导数与不等式存在性问题的求解.第一问涉及函数导数与切线的问题，主要把握住两个关键，一个是切点的坐标，一个是在切点处切线的斜率.第二问根据存在性问题求参数的取值范围，主要采用分离常数法，利用导数求得含有部分函数的最值，即可求得参数的取值范围.3．已知函数.（1）研究函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)在上单调递增;(2).【解析】试题分析：(1)二次求导确定函数的单调区间;(2)不等式在上恒成立.在上恒成立，转求的最小值即可.(2)依题在上恒成立，设，则在上恒成立，，欲使在上恒成立，则，得，反之，当时，，设，则设，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以，故，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，综上所述，在上恒成立，所以的取值范围是.4.已知,（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若，使成立，求参数的取值范围.【答案】（1）的减区间为,的增区间为，;（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）对函数求导，列表可得出结果；（Ⅱ）将题意可转化为时，成立，对函数进行求导，分为当时，，即，即，设，对其求导，求出的最小值；当时，列表可得，解不等式得结果.试题解析：（Ⅰ），时，增减增的减区间为的增区间为，（Ⅱ）由题意，即，当时，单调递增即即设即恒成立无解当时且，由（1）知恒成立，若使则且[1]，，[2]由[1][2]取交集：点睛：本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想在解不等式中的应用以及利用导数解决存在性问题，需注意它和恒成立问题的区别，具有一定的难度；由，得函数单调递增，得函数单调递减；对于存在性问题，使成立等价于成立.5.已知函数.（1）讨论函数的单调区间；（2）若，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)求出函数的导数，通过讨论的范围，得增区间，得减区间；(2)问题转化为，讨论的范围，根据函数的单调性求出的最小值即可求出的范围.（2）令，由（1）可知，函数的最小值为，所以，即.恒成立与恒成立等价，令，即，则.①当时，.（或令，则在上递增，∴，∴在上递增，∴.∴）.∴在区间上单调递增，∴，∴恒成立.②当时，令，则，当时，，函数单调递增.又，，∴存在，使得，故当时，，即，故函数在上单调递减；当时，，即，故函数在上单调递增，∴，即，不恒成立，综上所述，的取值范围是.6.已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值.【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)2.【解析】试题分析：(1)首先对函数求导，然后对参数分类讨论可得当时，的单调递增区间为，无减区间，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为;(2)将原问题转化为在上恒成立，考查函数的性质可得整数的最小值是2.(2)解法一：由得， ，∴原命题等价于在上恒成立，令，则，令，则在上单调递增，由，，∴存在唯一，使，.∴当时，，为增函数，当时，，为减函数，∴时，，...
