高考数学 玩转压轴题 专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题2.10已知不等恒成立讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。【典例指引】例1．设是在点处的切线．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）设，其中．若对恒成立，求的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）令，求导证得；（Ⅲ），①当时，由（Ⅰ）得，可得，进而得在区间上单调递增，恒成立，②当时，可得在区间上单调递增，存在，使得，，此时不会恒成立，进而得的取值范围．当时，，故单调递减；当时，，故单调递增．所以，）．所以．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）．例2．函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若且满足：对，，都有，试比较与的大小，并证明.【思路引导】（1）求出，讨论两种情况分别令可得增区间，可得得减区间；（2）由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于，可得，令，研究其单调性，可得，进而可得结果.（Ⅱ）当时，由得.由（Ⅰ）知在上单调递减，在上单调递增，所以对，，都有等价于即解得；令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；又，所以.即，所以.例3．已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）求出，由过点的直线的斜率为可得，讨论两种情况，分别由得增区间，得减区间；（Ⅱ）原不等式等价于不等式恒成立，利用导数研究的单调性，求其最小值，令其最小值不小于零即可得结果.（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．【同步训练】1．已知函数.（1）当，求的图象在点处的切线方程；（2）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围.【思路引导】（1）由于是在那点，所以求导可得（2）对f(x)求导，再求导，当时，所以对和分类讨论。单调递增，，当时，，在单调递增，恒成立；当时，存在当，使，则在单调递减，在单调递增，则当时，，不合题意，综上，则实数的取值范围为.点睛：函数与导数中恒成立与存在性问题，一般是转化成最值问题，常用的两种处理方法：（1）分离参数（2）带参求导，本题采用带参求导。2．已知函数，，若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若时，，求的取值范围．【思路引导】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解即可。（Ⅱ）由（Ⅰ）设，则，故只需证即可。由题意得，即，又由，得，，分，，三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论。（iii）若，，则在上单调递增，而，从而当时，不可能恒成立，综上可得的取值范围是．3．已知函数．（I）求曲线在点处的切线方程．（II）求证：当时，．（III）设实数使得对恒成立，求的最大值．【思路引导】（I），得，又，可得在处切线方程为．（II）令，求导得出的增减性，然后由得证．（III）由（II）可知，当时，对恒成立．时，令，求导，可得上单调递减，当时，F，即当时，，对不恒成立，可得k的最大值为2．（II）证明：令，，∴，∴，即在时，．（III）由（II）知，在时，对恒成立，点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题．要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，如第二问的不等式，可以转化为，第三问的不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数...