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高考数学 玩转压轴题 专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值-人教版高三全册数学试题VIP免费

高考数学 玩转压轴题 专题2.10 已知不等恒成立讨论单调或最值-人教版高三全册数学试题_第1页
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专题2.10已知不等恒成立讨论单调或最值【题型综述】不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:①分离参数+函数最值;②直接化为最值+分类讨论;③缩小范围+证明不等式;④分离函数+数形结合。通过讨论函数的单调性及最值,直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法,高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不易掌握分类标准。【典例指引】例1.设是在点处的切线.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)求证:;(Ⅲ)设,其中.若对恒成立,求的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)令,求导证得;(Ⅲ),①当时,由(Ⅰ)得,可得,进而得在区间上单调递增,恒成立,②当时,可得在区间上单调递增,存在,使得,,此时不会恒成立,进而得的取值范围.当时,,故单调递减;当时,,故单调递增.所以,).所以.点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题:(1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题;(2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为,若恒成立;(3)若恒成立,可转化为(需在同一处取得最值).例2.函数.(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若且满足:对,,都有,试比较与的大小,并证明.【思路引导】(1)求出,讨论两种情况分别令可得增区间,可得得减区间;(2)由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有等价于,可得,令,研究其单调性,可得,进而可得结果.(Ⅱ)当时,由得.由(Ⅰ)知在上单调递减,在上单调递增,所以对,,都有等价于即解得;令,,当时,,单调递减;当时,,单调递增;又,所以.即,所以.例3.已知函数(,为自然对数的底数)在点处的切线经过点.(Ⅰ)讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,不等式恒成立,求实数的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)求出,由过点的直线的斜率为可得,讨论两种情况,分别由得增区间,得减区间;(Ⅱ)原不等式等价于不等式恒成立,利用导数研究的单调性,求其最小值,令其最小值不小于零即可得结果.(Ⅱ)不等式恒成立,即不等式恒成立,设,若,则,函数单调递增且不存在最小值,不满足题意;当时,由得,当时,单调递减;当时,单调递增,所以,要使得恒成立,只需恒成立,由于,所以有,解得,即当时,恒成立,即恒成立,也即不等式恒成立,所以实数的取值范围为.【同步训练】1.已知函数.(1)当,求的图象在点处的切线方程;(2)若对任意都有恒成立,求实数的取值范围.【思路引导】(1)由于是在那点,所以求导可得(2)对f(x)求导,再求导,当时,所以对和分类讨论。单调递增,,当时,,在单调递增,恒成立;当时,存在当,使,则在单调递减,在单调递增,则当时,,不合题意,综上,则实数的取值范围为.点睛:函数与导数中恒成立与存在性问题,一般是转化成最值问题,常用的两种处理方法:(1)分离参数(2)带参求导,本题采用带参求导。2.已知函数,,若曲线和曲线在处的切线都垂直于直线.(Ⅰ)求,的值.(Ⅱ)若时,,求的取值范围.【思路引导】(Ⅰ)根据导数的几何意义求解即可。(Ⅱ)由(Ⅰ)设,则,故只需证即可。由题意得,即,又由,得,,分,,三种情况分别讨论判断是否恒成立即可得到结论。(iii)若,,则在上单调递增,而,从而当时,不可能恒成立,综上可得的取值范围是.3.已知函数.(I)求曲线在点处的切线方程.(II)求证:当时,.(III)设实数使得对恒成立,求的最大值.【思路引导】(I),得,又,可得在处切线方程为.(II)令,求导得出的增减性,然后由得证.(III)由(II)可知,当时,对恒成立.时,令,求导,可得上单调递减,当时,F,即当时,,对不恒成立,可得k的最大值为2.(II)证明:令,,∴,∴,即在时,.(III)由(II)知,在时,对恒成立,点晴:本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题.要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式,如第二问的不等式,可以转化为,第三问的不等式可以转化为,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数...

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