第2讲直线与圆锥曲线的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号直线与圆锥曲线位置关系的判断1,4圆锥曲线的弦长问题2,5,6中点弦问题6轨迹方程7综合问题3一、选择题1.(2018·广东珠海九月摸底)已知抛物线C:y2=4x,过点P(-2,0)作直线l与C交于A,B两点,直线l的斜率为k,则k的取值范围是(A)(A)(-,0)∪(0,)(B)[-,](C)(-,)(D)[-,0)∪(0,]解析:设直线l的方程为y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-1)x+4k2=0,当k=0时,不合题意,当k≠0时,Δ=16(k2-1)2-16k4>0,所以00)的焦点F到其准线l的距离为2,过焦点且倾斜角为60°的直线与抛物线交于M,N两点,若MM′⊥l,NN′⊥l,垂足分别为M′,N′,则△M′N′F的面积为(B)(A)(B)(C)(D)解析:由题意得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,F(1,0),直线MN:x=y+1,由得y2-y-4=0,则y1+y2=,y1y2=-4,所以|y1-y2|==,所以S△M′N′F=××2=.故选B.二、填空题3.(2018·吉林百校联盟联考)已知双曲线C:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且与双曲线C的一条渐近线垂直的直线l与C的两条渐近线分别交于M,N两点,若|NF1|=2|MF1|,则双曲线C的渐近线方程为.解析:不妨设C与渐近线y=x垂直,则直线l:y=-(x+c),由得M(-,-),由得N(-,),因为|NF1|=2|MF1|,所以M为NF1的中点,所以=-,即c2=-2(a2-b2),所以a2+b2=-2a2+2b2,所以=,故双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x三、解答题4.(2018·石家庄重点高中摸底考试)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),且点P(1,)在椭圆C上,O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,且∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.解:(1)由题意,得c=1,所以a2=b2+1.因为点P(1,)在椭圆C上,所以+=1,所以a2=4,b2=3.则椭圆C的标准方程为+=1.(2)由题意知l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+2,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(4k2+3)x2+16kx+4=0.因为Δ=48(4k2-1)>0,所以k2>,由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=.因为∠AOB为锐角,所以·>0,即x1x2+y1y2>0.所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,即(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,所以(1+k2)·+2k·+4>0,即>0,所以k2<.综上可知b>0)的下顶点为A,右顶点为B,离心率e=.抛物线E:y=的焦点为F,P是抛物线E上一点,抛物线E在点P处的切线为l,且l∥AB.(1)求直线l的方程;(2)若l与椭圆C相交于M,N两点,且S△FMN=,求椭圆C的标准方程.解:(1)因为e2=1-=,所以=,所以kAB=,又l∥AB,所以直线l的斜率为.设P(t,),由y=得y′=,因为过点P的直线l与抛物线E相切,所以=,解得t=2,所以P(2,),所以直线l的方程为x-2y-1=0.(2)法一设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=,易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>,所以|x1-x2|==.l:x-2y-1=0中,令x=0得y=-,则l交y轴于点D(0,-),又抛物线焦点为F(0,2),所以|FD|=2+=,所以S△FMN=|FD|×|x1-x2|=×=,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.法二设M(x1,y1),N(x2,y2),由得2x2-2x+1-4b2=0,则x1+x2=1,x1x2=,易知Δ=4-8(1-4b2)>0,解得b2>,所以|x1-x2|==.|MN|=|x1-x2|=,l:x-2y-1=0,抛物线焦点为F(0,2),则点F到直线l的距离d==,所以S△FMN=|MN|×d=××=,解得b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.6.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,=,所以=,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点的坐标为(,0),故a2-b2=3,因此a2=6,b2=3,所以M的方程为+=1.(2)由解得或因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n(-
