第10课时抛物线（二）1．(2018·广东中山第一次统测)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝()A．6B．8C．9D．10答案B解析|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.2．若抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是()A．(，1)B．(0，0)C．(1，2)D．(1，4)答案A解析设与直线y＝4x－5平行的直线为y＝4x＋m，由平面几何的性质可知，抛物线y＝4x2上到直线y＝4x－5的距离最短的点即为直线y＝4x＋m与抛物线相切的点．而对y＝4x2求导得y′＝8x，又直线y＝4x＋m的斜率为4，所以8x＝4，得x＝，此时y＝4×()2＝1，即切点为(，1)，故选A.3．(2017·北京东城期末)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，如果|BF|＝3，|BF|>|AF|，∠BFO＝，那么|AF|的值为()A．1B.C．3D．6答案A解析由已知直线的斜率为k＝，则方程为y＝(x－)，联立方程得3x2－5px＋＝0，即(2x－3p)(6x－p)＝0.因为|BF|>|AF|，所以xB＝p，xA＝，依题意xB＋＝2p＝3，所以p＝，则|AF|＝xA＋＝p＝1.故选A.4．(2018·广东汕头第三次质检)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，与直线y＝2x－4交于A，B两点，则cos∠AFB＝()A.B.C．－D．－答案D解析 抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴点F的坐标为(1，0)．又 直线y＝2x－4与C交于A，B两点，∴A，B两点坐标分别为(1，－2)，(4，4)，则FA＝(0，－2)，FB＝(3，4)，∴cos∠AFB＝＝＝－.故选D.5．(2018·河南四校联考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.B.C.D．1答案C解析由题意可得F(，0)．设P(，y0)，当y0<0时，kOM<0；当y0>0时，kOM>0. 要求kOM的最大值，∴y0>0. OM＝OF＋FM＝OF＋FP＝OF＋(OP－OF)＝OP＋OF＝(＋，)，∴kOM＝＝≤＝，当且仅当y02＝2p2，即y0＝p时取得等号．故选C.6．(2018·广西玉林期末)从抛物线y2＝4x的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，A，B为切点．若直线AB的倾斜角为，则P点的纵坐标为()A.B.C.D．2答案B解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，y)，则kAB＝＝. 直线AB的倾斜角为，∴＝，∴y1＋y2＝.切线PA的方程为y－y1＝(x－x1)，切线PB的方程为y－y2＝(x－x2)，即切线PA的方程为y＝x＋y1，切线PB的方程为y＝x＋y2.∴y1，y2是方程t2－2yt＋4x＝0两个根，∴y1＋y2＝2y＝.∴y＝.故选B.17．(2018·石家庄市高三检测)已知圆C1：x2＋(y－2)2＝4，抛物线C2：y2＝2px(p>0)，C1与C2相交于A，B两点，且|AB|＝，则抛物线C2的方程为()A．y2＝xB．y2＝xC．y2＝xD．y2＝x答案C解析由题意，知直线AB必过原点，则设AB的方程为y＝kx(k>0)，圆心C1(0，2)到直线AB的距离d＝＝＝，解得k＝2.由可取A(0，0)，B(，)，把(，)代入抛物线方程，得()2＝2p·，解得p＝，所以抛物线C2的方程为y2＝x，故选C.8．直线l与抛物线C：y2＝2x交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的斜率k1，k2满足k1k2＝，则直线l过定点()A．(－3，0)B．(0，－3)C．(3，0)D．(0，3)答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为k1k2＝，所以·＝.又y12＝2x1，y22＝2x2，所以y1y2＝6.将直线l：x＝my＋b代入抛物线C：y2＝2x得y2－2my－2b＝0，所以y1y2＝－2b＝6，所以b＝－3，即直线l：x＝my－3，所以直线l过定点(－3，0)．9.(2017·湖南益阳模拟)如图所示，已知直线l：y＝k(x＋1)(k>0)与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线C准线上的射影分别是M，N，若|AM|＝2|BN|，则k的值是()A.B.C.D．2答案C解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去x，得ky2－4y＋4k＝0.①因为直线与抛物线相交，所以有Δ＝42－4×k×4k＝16(1－k2)>0.(*)y1，y2是方程①的两个根，所以有又因为|AM|＝2|BN|，所以y1＝2y2.④解由②③④组成的方程组，得k＝.把k＝代入(*)式检验，不等式成立．所以k＝，故选C.10．(2017·威海一模)过抛物线C：y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)作两条斜率均存在的直线，分别交抛物线C于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若直线PA，PB关于直线x＝x0对称，则log2|y1＋y2|－log2y0的值为()A．1B．－1C．－D．无法确定答案A解析设直...
