课后作业(二十三)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为()A．(－1,2)，2B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(1，－2)，4[答案]A2．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52[解析]如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半径为r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.[答案]B3．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的方程是()A．(x＋3)2＋(y－4)2＝1B．(x－4)2＋(y＋3)2＝1C．(x＋4)2＋(y－3)2＝1D．(x－3)2＋(y－4)2＝1[解析]圆心(3，－4)关于直线x＋y＝0的对称点为(4，－3)，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝1，故选B.[答案]B4．点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是()A．|a|＜1B．a＜C．|a|＜D．|a|＜[解析]依题意有(5a)2＋144a2＜1，所以169a2＜1，所以a2＜，即|a|＜，故选D.[答案]D5．方程y＝表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆[解析]由y＝知，y≥0，两边平方移项，得x2＋y2＝9.∴选D.[答案]D6．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点(2,3)到圆上的最大距离为________．[解析]点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5＋.[答案]5＋7．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是___________________．[解析]∵圆心在第一象限，而且与x轴相切，∴可设圆心坐标为(a,1)，则圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，即＝1，得a＝2或a＝－(舍去)，∴该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.[答案](x－2)2＋(y－1)2＝18．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则的最小值是________．[解析]的几何意义是两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，而点(x，y)在圆x2＋y2＝1上，过点P(1,2)作圆的切线，由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求．∴设PB的方程为y－2＝k(x－1)，得kx－y－k＋2＝0.又∵PB和圆相切，∴＝1，得k＝.∴的最小值是.[答案]9．已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)与圆C的位置关系．[解]圆心C(5,6)，半径r＝.|CM|＝＝，|CN|＝＝>，|CQ|＝＝3<.因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内．10．已知直线l与圆C相交于点P(1,0)和点Q(0,1)．(1)求圆心所在的直线方程；(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程．[解](1)PQ的方程为x＋y－1＝0，PQ中点M，kPQ＝－1，所以圆心所在的直线方程为y＝x.(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.由圆过P，Q点得：解得或所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.应试能力等级练(时间25分钟)11．设P(x，y)是圆C：(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则(x－5)2＋(y＋4)2的最大值为()A．6B．25C．26D．36[解析](x－5)2＋(y＋4)2的几何意义是点P(x，y)到点Q(5，－4)的距离的平方．因为点P在圆(x－2)2＋y2＝1上，且点Q在圆外，所以其最大值为(|QC|＋1)2＝36.[答案]D12．已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________．[解析]y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：A(－1，－3)，B(3,0)，C(－3,0)，则kAB＝，kAC＝－，∴t≤－或t≥.[答案]t≤－或t≥13．已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求的最大值为________，最小值为________．[解析]因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，所以表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．因为(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外，如图所示．设圆心为C，则|AC|＝＝，所以的最大值为|AC|＋r＝＋2，最小值为|AC|－r＝－2.[答案]＋214．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．(1)求圆C的方程；(2)设点P在圆C上，求△PAB面积的最大值．[解](1)AB的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，由解得∴圆心C(－3,6)，半径r＝＝2，∴圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.(2)|AB|＝＝4，直线AB的方程为x－y＋1＝0.∴圆心C到直线AB的距离d＝＝4.∵点P在圆C上，∴点P到直线AB距离的最大值为d＋r＝4＋2，∴△PAB面积的最大值为×|AB|×(4＋2)＝×4×(4＋2)＝16＋8.
