第3讲圆锥曲线中的热点问题高考定位1
圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2
以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题
对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查
(2018·浙江卷)已知点P(0，1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大
解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2
因为点A，B在椭圆上，所以得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大，最大值为2
(2018·北京卷)已知抛物线C：y2＝2px经过点P(1，2)
过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N
(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，QM＝λQO，QN＝μQO，求证：＋为定值
(1)解因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2
故抛物线C的方程为y2＝4x
由题意知，直线l的斜率存在且不为0
设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0)
由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0
依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝
则k1＋k2＝＋＝＋＝
由题设k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0
∴(2k＋1)·＋(m－1)·＝0
解之得m＝－2k－1，此时Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，∴当且仅当m>－1时，Δ>0，∴直线l的方程为y＝kx－2k－1，即y＋1＝k(x－2)
