第1节导数的概念与导数的计算考试要求1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数.知识梳理1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.函数y＝f(x)的导函数如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数.记作f′(x)或y′.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos__xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin__xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a＞0且a≠1)f′(x)＝axln__af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a＞0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.[常用结论与易错提醒]1.f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同.2.f′(x0)不一定为0，但[f(x0)]′一定为0.3.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数.4.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊断自测1.判断下列说法的正误.(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同.()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()(3)(2x)′＝x·2x－1.()(4)若f(x)＝e2x，则f′(x)＝e2x.()解析(1)f′(x0)是函数f(x)在x0处的导数，(f(x0))′是常数f(x0)的导数即(f(x0))′＝0；(3)(2x)′＝2xln2；(4)(e2x)′＝2e2x.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.函数y＝xcosx－sinx的导数为()A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx解析y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案B3.(2019·全国Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为________.解析y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3ex(x2＋3x＋1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率k＝e0×3＝3，所以所求切线方程为y＝3x.答案y＝3x4.(2020·南通一调)若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________.解析因为y′＝lnx＋1，所以(ln1＋1)(lnt＋1)＝－1，∴lnt＝－2，t＝e－2.答案e－25.若定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x，则f(0)＝________；f(x)＝________.解析 f(x)＝f′(1)e2x－2＋x2－2f(0)x，∴f′(x)＝f′(1)e2x－2＋2x－2f(0)，∴f′(1)＝f′(1)＋2－2f(0)，∴f(0)＝1，即1＝f′(1)e－2，∴f′(1)＝2e2，∴f(x)＝e2x＋x2－2x.答案1e2x＋x2－2x6.(2020·杭州四中仿真)已知函数f(x)＝x3＋ax＋b的图象在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y－5＝0，则a＝________；b＝________.解析由题意得f′(x)＝3x2＋a，则由切线方程得解得a＝－1，b＝－3.答案－1－3考点一导数的运算【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝；(3)y＝xsincos；(4)y＝ln(2x－5).解(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝＝－.(3) y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x.(4)令u＝2x－5，y＝lnu.则y′＝(lnu)′u′＝·2＝，即y′＝.规律方法求导一般对函数式先化简再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错，常用求导技巧有：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构...
