专题跟踪训练(六)1．(2015·安徽卷)已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．[解](1)由题意知x≠－r，所求的定义域为(－∞，－r)∪(－r，＋∞)．f(x)＝＝，f′(x)＝＝，所以当x<－r或x>r时，f′(x)<0，当－r0，因此，f(x)的单调递减区间为(－∞，－r)，(r，＋∞);f(x)的单调递增区间为(－r，r)．(2)由(1)的解答可知f′(r)＝0，f(x)在(0，r)上单调递增，在(r，＋∞)上单调递减．因此，x＝r是f(x)的极大值点，所以f(x)在(0，＋∞)内的极大值为f(r)＝＝＝＝100.2．(2015·济南模拟)设函数f(x)＝x＋ax2＋blnx，曲线y＝f(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)≤2x－2.[解](1)f′(x)＝1＋2ax＋.由已知条件得即解得(2)证明：因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f(x)＝x－x2＋3lnx.设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3lnx，则g′(x)＝－1－2x＋＝－.当00，当x>1时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．而g(1)＝0，故当x>0时，g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.3．(2015·东北三校联考)设函数f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，求函数f(x)的极值；(2)当a≤4时，若不等式f(x)≥1在区间[1,4]上有解，求实数a的取值范围．[解]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(1)f′(x)＝1＋－＝，所以f′(1)＝5－a，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率等于5－a.由题意可得5－a＝0，解得a＝5.此时，f′(x)＝＝.由f′(x)＝0解得x＝1或4.f(x)、f′(x)随x的变化情况如下表：x(0,1)1(1,4)4(4，＋∞)f′(x)＋0－0＋1f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数f(x)的极大值为f(1)＝1－－5ln1＝－3，极小值为f(4)＝4－－5ln4＝3－10ln2.(2)由不等式f(x)≥1在区间[1,4]上有解可知，f(x)在区间[1,4]上的最大值不小于1.由(1)知f′(x)＝，对于方程x2－ax＋4＝0，Δ＝(－a)2－4×1×4＝a2－16，①当a∈[－4,4]时，Δ≤0，故f′(x)≥0恒成立，f(x)在[1,4]上单调递增，故f(x)在[1,4]上的最大值为f(4)＝4－－aln4＝3－2aln2，故由f(4)≥1，得3－2aln2≥1，解得a≤.又a∈[－4,4]，所以a∈.②当a<－4时，Δ>0，f′(x)＝0的两根为x1＝，x2＝.此时x1<0，x2<0，故f(x)在[1,4]上单调递增，故①知，a≤，又a<－4，故a<－4.综上所述，a的取值范围为.4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞),f′(x)＝2e2x－(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0,f′(x)没有零点；当a>0时，因为y＝e2x单调递增，y＝－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f′(a)>0，当b满足00时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当a>0时，f(x)≥2a＋aln.2
