透视“曲线”与“方程”曲线和方程的概念是解析几何中最重要的概念之一，轨迹思想是解析几何理论的核心思想，弄清曲线与方程的关系，是解决好求轨迹问题的前提。对于“曲线的方程”与“方程的曲线”有两层意思：（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都适合这个条件无一例外（纯粹性）；（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明释和条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。“曲线”与“方程”是点的轨迹的两种表现形式，“曲线”是轨迹的几何形式，“方程”是轨迹的代数形式，在具体解题操作时要将二者结合起来这就是“数形结合”的方法。一、概念分析例1已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上，则（）A、曲线C上的点的坐标都适合方程f(x,y)=0；B、凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在C上；C、不在C上的点的坐标必不适合f(x,y)=0；D、不在C上的点的坐标有些适合f(x,y)=0，有些不适合f(x,y)=0。【分析】由曲线方程的概念，不能得出f(x,y)=0是曲线C的方程。假如设方程f(x,y)=0为24yx，满足该方程的点都在以原点为圆心，2为半径的园上但园上的点(1,3)的坐标并不适合方程；又原命题的逆否命题是C，根据原命题与你否命题等价，故正确答案为：C。例2下列命题正确的是A、方程12xy表示斜率为1，在y轴上的截距为2的直线；B、△ABC三个顶点的坐标是A（0，3），B（－2，0），C（2，0），BC边的中线方程是x=0；C、到x轴距离为5的点的轨迹方程是y=5；用心爱心专心D、曲线222320xyxm过原点的充分必要条件是m=0。【分析】在A的方程中要求y≠2，因此漏掉一点（0，2）（不完备）；在B中BC边中线的方程是线段x=0(0≤y≤3)而不是直线x=0（不纯粹）；在C中甸的轨迹应当是y=5或y=－5而只有轨迹方程y=5（不完备）。正确答案为：D。二、已知方程画曲线例3若方程211xmx有且只有一个实数根，求实数m的范围；若方程有两个不等的实数根，求实数m的范围。【分析】方程211xmx有几个实数根，就表示21yx和y=mx+1的交点就有几个，方程的根就是交点的横坐标。【解】令21yx，y=mx+1，则原方程的解个数转化为直线与半圆的交点的个数，y=mx+1表示过点（0，1）的直线系方程有无数条直线，21yx表示单位圆的上半圆,如图1所示。（1）当直线由2l逆时针旋转到3l的过程中（不含2l、3l）与半圆有且只有一个交点；当直线在1l的位置时，与半圆也有且只有一个交点，易知此时m＞1或m＜－1或m=1，因此m＞1或m＜－1或m=1时方程有且只有一个实数根。（2）当直线由3l逆时针旋转到1l，由1l3l逆时针旋转到2l时，直线与半圆有两个交点易知此时0＜m≤或－1≤m＜0，因此0＜m≤或－1≤m＜0时方程有两个不等的实数根。用心爱心专心3lxyO1l2l图1【点评】已知曲线的方程画出曲线，进而利用曲线交点的个数找方程的解，这种“数形结合”的方法是解决这类问题的重要手段。三、求轨迹方程例4过P（2，4）作互相垂直的直线1l，2l，若1l交x轴于点A，2l交y轴于点B，求线段AB的中点轨迹方程。解法一：（直接法）设M(x，y)是所求轨迹上任意一点，则A、B两点的坐标分别为A（2x，0）、B(0，2y)， M为线段AB的中点，连接PM， PA⊥PB，∴2|PM|=|AB|，∴22222(2)(4)44xyxy，平方整理得：x+2y－5=0，即为所求轨迹方程。解法二：（直接法）设M的坐标为(x，y)， M为线段AB的中点，∴A、B两点的坐标分别为A（2x，0）、B(0，2y)， PA⊥PB，∴1PAPBkk，即40421(1)2220yxx整理得：x+2y－5=0（x≠1），当x=1时，A、B两点的坐标分别为A（2，0）、B(0，4)，线段AB的中点为（1，2）仍满足x+2y－5=0。综上所述：所求轨迹方程为x+2y－5=0。解法三：（直接法）设M的坐标为(x，y)， PA⊥PB，OA⊥OB，且M为线段AB的中点，∴四边形OAPB是圆内接四边形，且M为圆心，∴|OM|=|MP|，∴2222(2)(4)xyxy，整理得：x+2y－5=0，即为所求轨迹方程。解法四：（相关点法）用心爱心专心P(2,4)x·yOAB图21l2lM设M的坐标为(x，y)，A、B两点的坐标分别为A（a，0）、B(0，b)，则22axby，∴22axby...
