第五章5.55.5.2A组·素养自测一、选择题1．(2019·陕西省西安市段考)的值等于(A)A．sin40°B．cos40°C．cos130°D．±cos50°[解析]＝＝＝|cos130°|＝－cos130°＝sin40°，故选A．2．若sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝(C)A．1B．－1C．0D．±1[解析]因为sin(α＋β)cosβ－cos(α＋β)sinβ＝sin(α＋β－β)＝sinα＝0，所以sin(α＋2β)＋sin(α－2β)＝2sinαcos2β＝0.3．若sinθ＝，<θ<3π，则tan＋cos＝(B)A．3＋B．3－C．3＋D．3－[解析]因为<θ<3π，所以cosθ＝－＝－.因为<<，所以sin<0，cos<0，所以sin＝－＝－，cos＝－＝－，所以tan＝＝3.所以tan＋cos＝3－.4．若tanθ＋＝4，则sin2θ＝(D)A．B．C．D．[解析]由＋＝4，得＝4，所以＝4，sin2θ＝.5．设3π<α<4π，cos＝m，那么cos等于(B)A．B．－C．－D．[解析]由于cos＝2cos2－1，可得cos2＝.又3π<α<4π，所以<<π.所以cos<0.所以cos＝－.6.·等于(B)A．tanαB．tan2αC．1D．[解析]原式＝＝＝＝tan2α.二、填空题7．已知sinθ＝－，3π<θ<，则tan＝__－3__.[解析]根据角θ的范围，求出cosθ后代入公式计算，即由sinθ＝－，3π<θ<，得cosθ＝－，从而tan＝＝＝－3.8．已知cos2α＝，且<α<π，则tanα＝__－__.[解析]∵<α<π，∴tanα＝－＝－.9．若sin2α<0，cosα<0，则cosα＋sinα＝__sin(α－)__.[解析]由题可知α为第二象限角，且<<.原式＝cosα＋sinα＝－cosαtan(－)＋sinα·tan＝－2sin2(－)＋2sin2＝－1＋cos(－α)＋(1－cosα)＝sin(α－)．三、解答题10．求证：＝.[证明]左边＝＝＝＝＝＝＝右边．∴原等式成立．11．已知α为钝角，β为锐角，且sinα＝，sinβ＝，求cos与tan的值．[解析]因为α为钝角，β为锐角，sinα＝，sinβ＝，所以cosα＝－，cosβ＝.所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝(－)×＋×＝.因为<α<π，且0<β<，所以0<α－β<π，即0<<，所以cos＝＝＝.方法一：由0<<，得sin＝＝，所以tan＝＝.方法二：由0<α－β<π，cos(α－β)＝，得sin(α－β)＝＝.所以tan＝＝＝.B组·素养提升一、选择题1．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是(C)A．[0，]B．[，1]C．[，]D．[0,1][解析]cos2A＋cos2B＝＋＝1＋(cos2A＋cos2B)＝1＋cos·cos＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)＝1＋cos·cos(A－B)＝1－cos(A－B)．∵cos(A－B)∈[－1,1]，∴cos2A＋cos2B∈[，]．2．(2019·甘肃武威第十八中学单元检测)若<θ<π，则－＝(D)A．2sin－cosB．cos－2sinC．cosD．－cos[解析]∵<θ<π，∴<<，∴sin>cos>0.∵1－sinθ＝sin2＋cos2－2sincos＝(sin－cos)2，(1－cosθ)＝sin2，∴－＝－＝(sin－cos)－sin＝－cos.3．(多选题)下列各式中，值为的是(AC)A．B．tan15°cos215°C．cos2－sin2D．[解析]A符合，原式＝×＝tan45°＝；B不符合，原式＝sin15°·cos15°＝sin30°＝；C符合，原式＝·cos＝；D不符合，原式＝×＝tan60°＝，故选AC．4．(多选题)下列各式与tanα相等的是(CD)A．B．C．·(α∈(0，π))D．[解析]A不符合，＝＝＝|tanα|；B不符合，＝＝tan；C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tanα；D符合，＝＝tanα.二、填空题5．已知tan＝，则cosα＝____.[解析]∵tan＝±，∴tan2＝.∴＝，解得cosα＝.6．设0<θ<，且sin＝，则tanθ等于____.[解析]∵0<θ<，sin＝，∴cos＝＝.∴tan＝＝，tanθ＝＝＝·(x＋1)＝.7．(sin＋cos)2＋2sin2(－)的值等于__2__.[解析]原式＝1＋sinα＋2·＝1＋sinα＋1－sinα＝2.三、解答题8．已知cos(x＋)＝且
