专题14直线与圆直线的方程及应用1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)．(2)斜截式：y＝kx＋b.(3)两点式：＝(x1≠x2，y1≠y2)．(4)截距式：＋＝1(a≠0，b≠0)．(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．2．三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|＝.(2)点到直线的距离：d＝(其中点P(x0，y0)，直线方程：Ax＋By＋C＝0)．(3)两平行直线间的距离：d＝(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．3．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．(1)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为()A.B．4C.D．2(2)过点(1，2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，当△OAB面积最小时，直线l的方程为()A．2x＋y－4＝0B．x＋2y－5＝0C．x＋y－3＝0D．2x＋3y－8＝0【答案】(1)C(2)A【解析】(1)由l1∥l2，得＝≠，解得a＝－1，所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，所以l1与l2之间的距离d＝||＝.此时l的方程为＋＝1.即2x＋y－4＝0.解决直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线斜率是否存在．【对点训练】1．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为()A．15B．C．6D.【答案】D.【解析】设M是AB的中点，由题意知AB的中点坐标为M(1，3)，kAB＝＝，所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．即2x＋y－5＝0.令y＝0，则x＝，即P点的坐标为(，0)．又|AB|＝＝2.P到AB的距离为|PM|＝＝.所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.2．直线l过点P(1，4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，l的方程为__________．答案：2x＋y－6＝0解析：依题意，l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得A；令x＝0，可得B(0，4－k)．|OA|＋|OB|＝＋(4－k)＝5－＝5＋≥5＋4＝9.当且仅当－k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时l的方程为2x＋y－6＝0.圆的方程及其应用1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．(1)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B．C.D.(2)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．【答案】(1)B(2)(x－2)2＋y2＝9求圆的方程的两种方法(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程．法三：如图，由直线方程与圆的方程知A(0，2)，设E为AB中点，则OE⊥AB.所以OE∥CA∥DB，所以|CD|＝2|OC|.由l的方程知∠AFC＝30°.所以∠ACO＝60°，所以|OC|＝＝＝2.所以|CD|＝4.6．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．【答案】：4π【解析】：圆C的方程可化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心的坐标为C(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.7．(2019·云南十一校跨区调研)已知动圆C过A(4，0)，B(0，－2)两点，过点M(1，－2)的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，|EF|的最小值为________．【答案】：28．已知圆x2＋y2－2x－4y＋a－5＝0上有且仅有两个点到直线3x－4y－15＝0的距离为1，则实数a的取值范围为________．【答案】：(－15，1)【解析】：圆的标准...
