第6讲函数的值域与最值夯实基础【p14】【学习目标】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法．【基础检测】1．函数y＝－1的值域为()A．[1，＋∞)B．(－1，1)C．(－1，＋∞)D．[－1，1)【解析】因为2x>0，所以4－2x<4，所以0≤<2，所以函数y＝－1的值域为[－1，1)．【答案】D2．已知函数f＝，当x∈时，函数f(x)的值域为()A.B.∪C.D.【解析】由f＝＝2＋，x∈，因为f(x)＝2＋在x∈上是减函数，所以当x＝2，f(x)max＝7，又f(x)＝2＋>2，所以值域为.【答案】C3．已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，5]的值域是[－5，4]，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，2]C．[－1，2]D．[2，5]【解析】 f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，∴当x＝2时，f(2)＝4，由f(x)＝－x2＋4x＝－5，解得x＝5或x＝－1，∴要使函数在[m，5]的值域是[－5，4]，则－1≤m≤2.【答案】C4．已知函数y＝－x2－2ax的最大值是a2，则实数a的取值范围是________．【解析】函数y＝－x2－2ax＝－＋a2，当x＝－a时，函数有最大值a2，又因为0≤x≤1，所以0≤－a≤1，－1≤a≤0，故实数a的取值范围是.【答案】[－1，0]5．函数f＝的最大值为________．【解析】 2－x＝＋≥，∴f≤，即最大值为.【答案】【知识要点】1．函数的值域函数f(x)的值域是__函数值y__的集合，记为{y|y＝f(x)，x∈A}，其中A为f(x)的定义域．2．常见函数的值域(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的值域为__R__．(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为.(3)反比例函数y＝(k≠0)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(4)指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的值域为__(0，＋∞)__．(5)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的值域为__R__．(6)正、余弦函数y＝sinx，y＝cosx的值域为__[－1，1]__；正切函数y＝tanx的值域为__R__．3．函数的最值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M：(1)若∀x∈I，f(x)≤M且∃x0∈I，f(x0)＝M，则称M为f(x)的__最大值__．(2)若∀x∈I，f(x)≥M且∃x0∈I，f(x0)＝M，则称M为f(x)的__最小值__．典例剖析【p14】考点1函数值域的求法求下列函数的值域：(1)f(x)＝3x－1，x∈{x∈N|1≤x≤4}；(2)y＝2x＋；(3)y＝；(4)y＝x2－2x＋3，x∈{x|0≤x＜3}；(5)y＝；(6)y＝2x－；(7)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.【解析】(1)由x∈{x∈N|1≤x≤4}可知定义域为{1，2，3，4}，代入函数式可得值域为{2，5，8，11}．(2)(三角换元法)令x＝cost(0≤t≤π)，∴y＝2cost＋sint＝sin(t＋φ). 0≤t≤π，∴φ≤t＋φ≤π＋φ，∴sin(π＋φ)≤sin(t＋φ)≤1.故函数的值域为[－2，]．(3)(均值不等式法) y＝＝＝(x－1)＋，又 当x＞1时，x－1＞0；当x＜1时，x－1＜0.∴当x>1时，y＝(x－1)＋≥2＝4，且当x＝3时等号成立；当x<1时，y＝－≤－4，且当x＝－1时，等号成立．综上得函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．(4)(配方法)由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，又x∈{x|0≤x＜3}，再结合函数的图象(如下图)，可得函数的值域为{y|2≤y＜6}．(5)(分离常数法)因为y＝＝＝5＋，且≠0，所以y≠5，所以函数的值域为{y|y≠5}．(6)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝2＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为.(7)(图象法)f(x)＝作出其图象：由图象知函数f(x)的值域是.【点评】求函数值域的常用方法：①单调性法；②配方法；③分离常数法；④数形结合法；⑤换元法(包括代数换元与三角换元)；⑥判别式法；⑦不等式法；⑧导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；⑨图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象然后由函数的图象写出函数的值域．考点2函数的最值及应用(1)若f(x)＝＋的最小值与g(x)＝－(a>0)的最大值相等，则a的值为()A．1B.C．2D．2【解析】f(x)在定义域[2，＋∞)上是增函数，所以f(x)的最小值f(2)＝2，又g(x)＝在定义域[a，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值g(a)＝，所以＝2，a＝2.【答案】C(2)函数y＝－的最大值是()A．－1B．1C．6D．7【解析】根据题意得：所以3≤x≤4.又y＝，为减函数，y＝为增函数，所以函数y＝－为减函数，当x＝3...
