专题跟踪训练(十九)1．(2015·银川模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若AM＝2MB，求直线l的方程．[解](1)设椭圆方程为＋＝1(a>0，b>0)，因为c＝1，＝，所以a＝2，b＝，所以椭圆方程为＋＝1.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，则由得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0，且Δ>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由AM＝2MB得x1＝－2x2，又所以消去x2得2＝，解得k2＝，k＝±，所以直线l的方程为y＝±x＋1，即x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0.2．(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.[解](1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝.进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)证明：由N是线段AC的中点知，点N的坐标为，可得NM＝.又AB＝(－a，b)，从而有AB·NM＝－a2＋b2＝(5b2－a2)．由(1)可知a2＝5b2，所以AB·NM＝0，故MN⊥AB.3．(2015·福建卷)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．[解](1)由抛物线的定义得|AF|＝2＋.由已知|AF|＝3，得2＋＝3，解得p＝2，所以抛物线E的方程为y2＝4x.(2)证明：证法一：如图，因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1,0)，所以kGA＝＝，kGB＝＝－，所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．证法二：如图，设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)．由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1)．由得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，从而B.又G(－1,0)，故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0，从而r＝＝.又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0，所以点F到直线GB的距离d＝＝＝r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．4．(2015·沈阳第一次模拟)如图，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为4，且当△AF1F2的面积最大时，△AF1F2为直角三角形．(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在点T(t,0)，使得TA·TB为定值？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．[解](1)当△AF1F2的面积最大时，△AF1F2为直角三角形，此时A(0，b)，根据题意得，故a2＝2，b2＝1，所以椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)若过F1的直线的斜率存在，设其方程为y＝k1(x＋1)，由得，(2k＋1)x2＋4kx＋2k－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，x1x2＝，∴TA·TB＝(x1－t，y1)·(x2－t，y2)＝x1x2－t(x1＋x2)＋t2＋k(x1＋1)(x2＋1)＝(k＋1)x1x2＋(k－t)(x1＋x2)＋k＋t2＝(k＋1)·－(k－t)·＋k＋t2＝＋t2，当4t＋1＝－4，即t＝－时，TA·TB＝－为定值；若过F1的直线的斜率不存在，不妨设点A在x轴上方，则A，B，T，TA·TB＝－为定值．综上，存在点T，使得TA·TB为定值．
