专题限时训练(十六)圆锥曲线的概念与性质(时间：45分钟分数：80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2015·陕西卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1,0)B．(1,0)C．(0，－1)D．(0,1)答案：B解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．2．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为()A.B.C.D.答案：D解析：因为PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，所以|PF2|＝2ctan30°＝c，|PF1|＝c.又|PF1|＋|PF2|＝c＝2a，则e＝＝＝.3．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.答案：C解析：根据题意可知点P(－c，y0)，代入椭圆的方程可得y＝b2－，根据AB∥OP，可知＝，即＝，解得y0＝，即b2－＝，解得e＝＝.故选C.4．(2015·浙江模拟)椭圆M：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且PF1·PF2的最大值的取值范围是[c2,3c2]，其中c＝，则椭圆M的离心率e的取值范围是()A.B.C.D.答案：B解析：设P(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，PF1·PF2＝x2＋y2－c2.又x2＋y2可看作P(x，y)到原点的距离的平方，所以(x2＋y2)max＝a2，所以(PF1·PF2)max＝b2，所以c2≤b2＝a2－c2≤3c2，即≤e2≤，所以≤e≤.故选B.5．(2015·四川卷)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)答案：D解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．则y＝4x1，y＝4x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，即＝.当直线l的斜率存在时，可得斜率k＝，设圆心为点C，则点C坐标为(5,0)，于是kCM＝. CM⊥l，∴kCM·k＝－1，∴·＝－1，解得x0＝3.故切点M的坐标为(3，y0)．若切点M不在x轴上，需r＞5－3＝2，此时有两条切线．当直线l的斜率不存在时，切点M为圆与x轴的交点，符合题意．∴当r＞2时，有4条直线符合题意．又当抛物线与圆相切时，联立方程组消去y得x2－6x＋25－r2＝0，令Δ＝0，解得r＝4，此时x＝3.故圆与抛物线相切时，只有两条直线符合题意，故r＜4.∴r∈(2,4)．二、填空题(每小题5分，共15分)6．(2015·山东卷)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．答案：解析：双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即kBF·kOA＝－1，又kBF＝＝－，kOA＝，所以有＝－1，即＝，故C1的离心率e＝＝＝＝.7．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过焦点F倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，点A，B在抛物线准线上的射影分别是A′，B′，若四边形AA′B′B的面积为48，则抛物线的方程为________．答案：y2＝2x解析：过A作AC⊥BB′于点C，因为直线的倾斜角为30°，所以AC＝AB，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝，与抛物线方程联立消元得：x2－7px＋＝0，所以x1＋x2＝7p，所以AB＝8p，所以S四边形AA′B′B＝(AA′＋BB′)·AC＝×8p×4p＝48，所以p＝.所以抛物线方程为y2＝2x.8．(2015·甘肃兰州诊断)椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝8y的焦点，则椭圆C的标准方程为________．答案：＋＝1解析：抛物线焦点(0,2)，即b＝2，e＝＝，∴a＝2c，又a2－b2＝c2，故a＝4，c＝2，∴椭圆方程为＋＝1.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，因为2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|A...
