高考数学复习点拨 直线斜率的“隐性”应用VIP免费

直线斜率的“隐性”应用对于数式结构与直线斜率有关的数学问题，可通过类比、联想，及借助直线斜率的几何意义，巧妙解决．下面举例说明．一、用于证明不等式例1已知abm，，均为正数，且ab，求证：amabmb．分析：观察所证不等式的左边，结构与斜率公式2121yykxx很相似，()()amambmbm，显然此式可看作点()Pba，与点()Mmm，的连线的斜率．解：如图1，0ab，点()Pba，在第一象限，且必位于直线yx的下方．又0m，点()Mmm，在第三象限，且必在yx上．连结OPPM，，则OPakb，MPamkbm．直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，MPOPkk，即有amabmb．二、用于求参数的取值范围例2已知线段的两个端点(03)(30)AB，，，，若直线2yx与线段AB相交，求实数的取值范围．分析：采用数形结合的方法，因为直线2yx恒过一个定点，并且斜率为，则直线应落在定点与AB，的连线之间，从而得出斜率所取的范围，即可确定的取值范围．解：如图2，2yx恒经过一定点(12)C，，AC的斜率2351ACk，BC的斜率21132BCk．若直线2yx与线段AB相交，则ACBCkk≤≤．用心爱心专心故的取值范围是152≤≤．评注：数形结合是求直线与直线及直线与平面曲线位置关系问题的好方法，它直观简明，计算量小，是解答小题的首选方法，也是解答大题的重要方法．三、用于比较大小例3已知函数2()log(1)fxx，且0abc，则()faa，()fbb，()fcc的大小关系为（）Ａ．()()()fafbfcabcＢ．()()()fafbfcabcＣ．()()()fbfafcbacＤ．()()()fafcfbacb分析：该题从特殊值和常规方法都不容易找到解题的捷径，经仔细分析发现，其结构具务()()00fxfxxx的特点，由此联想到利用斜率进行求解．解：作出函数2()log(1)fxx的大致图象（图3）．由图（3）可知，曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小．因为0abc，所以()()()fafbfcabc．故选（Ｂ）．四、用于求点共线问题例4如果三点52(41)(4)2AmBCm，，，，，在同一条直线上，试确定常数m的值．分析：如果三点ABC，，在同一条直线上，则直线AB的斜率与直线BC的斜率相等．解：由于三点ABC，，所在直线不可能垂直于x轴，因此设直线ABBC，的斜率分别为ABBCkk，．由斜率公式，得51722448ABkmm，11448BCmmk．ABC，，在同一条直线上，ABBCkk．71488mm，即23120mm．解得3572m，或3572m．评注：两直线ABBC，的斜率相等，则ABC，，三点共线；反过来，若ABC，，三点共线，则直线ABBC，的斜率相等（斜率存在时），或都不存在．用心爱心专心五、求函数最值例5已知实数xy，满足222(11)yxxx≤≤，试求32yx的最大值和最小值．分析：利用32yx的几何意义：连结定点(23)，与动点()xy，的直线的斜率，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化运算过程．解：如图4，由32yx的几何意义可知，它表示经过定点(23)P，与曲线段AB上任一点()xy，的直线的斜率k．易知PAPBkkk≤≤，由已知，可得(11)(15)AB，，，．483k≤≤，故32yx的最大值是8，最小值是43．评注：巧妙利用斜率公式，借助数形结合直观求解，收到事半功倍的效果，此题还可利用后边所学内容，用代数的方法求解．用心爱心专心