命题角度4：导数与不等式1.设函数.（1）求函数的单调区间；（2）若，证明：对任意的实数，都有.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为单调增区间为;（2）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为证明，先证出，再证明令，根据函数的单调性证明即可．试题解析：（1）定义域为，，①当时，，在上单调递增，②当时，令，有，0↘极小值↗所以的单调减区间为，单调增区间为.综合①②，当时，在上单调递增；当时，的单调减区间为，单调增区间为.∴当时，，从而.接下来只需证：，即证：，令，则，所以在上单调递减，上单调递增，即， 时，，∴，∴.点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性，求导比较导方程的根的大小，解不等式可得单调区间，要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调，只需要证明其导函数大于等于0（或者恒小于等于0即可），要证明一个不等式，我们可以先根据题意构造新函数，求其值最值即可.这类问题的通解方法就是：划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.2．已知，.（1）求函数的极值；（2）求证：当时，.【答案】（1），无极大值；（2）；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，令和，结合极值的定义得结果；（2）由对函数求导得到函数在上单调递减，单调递增，要想有两个零点结合数形结合思想可得等价于解得结果；（3）问题等价于，由（1）知的最小值为，令（）使得成立即可.（2）问题等价于由（1）知的最小值为令（）∴易知在上单调递增，上单调递减∴又∴，故当时，成立考点：（1）利用导数求函数的极值；（2）不等式的证明.【方法点睛】本题考查学生利用导数研究函数极值的能力,利用导数求函数的极值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③求不等式和的解，根据单调性求极值；函数零点的个数转化为函数图象与轴的交点的问题，由数形结合思想，根据单调性得结果；观察所证式子的特征，利用前面的结论，构造不等式，可证结果.3.设，函数.(Ⅰ)若，求曲线在处的切线方程；(Ⅱ)若无零点，求实数的取值范围；(Ⅲ)若有两个相异零点，求证：.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)首先求得函数的导数，然后利用导函数研究函数的切线可得曲线在处的切线方程是；(Ⅱ)结合函数的解析式分类讨论可得实数的取值范围是；(Ⅲ)由题意结合题中的结论构造函数即可证得题中的不等式.②若有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减函数；故在区间上，的最大值为，由于无零点，须使，解得，故所求实数的取值范围是.(Ⅲ)设的两个相异零点为，设， ，∴，∴， ，要证，只需证，只需，等价于，设上式转化为)，设，∴在上单调递增，∴，∴，∴.4.已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）设，，求证：对于恒有【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）设，根据=直接可得答案．（Ⅱ）先根据H（x）的导数小于等于0判断出H（x）单调递减的，只要证明|H（m）-H（1）|<1即可．试题解析：（Ⅰ）设，于是所以又，则．所以．（Ⅱ）因为对，所以在内单调递减．于是.记，则所以函数在是单调增函数，所以，故命题成立．点睛：本题考查函数的表达式的求法，考查满足条件的实数的取值范围是否存在的判断与求法，恒成立问题采用变量分离求最值得范围，双变元问题分别找最值求解，借助于导数求单调性.5.已知函数，函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若，求证：不等式：.【答案】(1)略（2）（3）略.【解析】试题分析：对函数求导，讨论，确定单调区间和单调性；作差构造新函数，利用导数判断函数的单调性，根据不等式恒成立条件，求出的范围；借助第二步的结论，证明不等式.试题解析：（Ⅰ），当时，增区间，无减区间当时，增区间，减区间（Ⅱ）即在上恒成立设，考虑到，在上为增函数，当时，在上为增函数，恒成立当时，，在上为增...
