高二数学椭圆知识小节知识精讲人教版一.教学内容:椭圆知识小节[知识点]11221212.定义:MFMFaaFF2201.()定义:MFdeeMl3.标准方程:xaybabx222210()(焦点在轴上)yaxbaby222210()(焦点在轴上)参数方程为参数xaybcossin4.几何性质:范围、对称性、焦半径、长半轴、短半轴5.直线与椭圆的关系(判断及相关问题(点差法))6.有关存在性及对称性问题【典型例题】例1.已知点在椭圆上,点的坐标为(,),求PxyPxyzxy2225161456的最大值和最小值。解:Pxy点在椭圆上2225161可设点的坐标为,P54cossin即,xy54cossinzxy45645546cossin20222226·sincos20246sin当时,最大,其最大值为246202kkZz当时,最小,其最小值为2346202kkZz小结:利用椭圆的参数方程,把z=4x-5y+6转化成θ的三角函数是解决本例的关键。例2.已知椭圆的焦点在x轴上,P为椭圆上一点,F1、F2为两焦点,且PF1⊥PF2,若P点到两准线的距离分别为6和12,求椭圆的标准方程。解:如图所示用心爱心专心yxF1OF2P设椭圆的方程为,焦距为xaybc222212则,PFcaPFca12612PFPFPFPFFF121222122,即··36144422222cacaca245又,612252accbac22220所求椭圆的方程为xy2245201小结:本例的解法是先利用椭圆的第二定义得到PFcaPFca12612,,再由写出、之间的关系式并结合两准线间的距离等于,即得到PFPFacac1222ab22,的值。例3.已知椭圆的焦点是,和,,直线是椭圆的一条准线。FFy1201014(1)求椭圆的方程;()又设点在这个椭圆上,且,求。211212PPFPFFPF解:(),1142cacab232,又椭圆的中心在原点,焦点在y轴上椭圆的方程为xy22341()由解得:22411212PFPFaPFPFPFPF125232,又FFc1222用心爱心专心cosFPFPFPFFFPFPF12122212212235·即FPF1235arccos小结:()中由已知椭圆上的点到两焦点的距离差-=,联想2P|PF||PF|112到到两焦点的距离和+=,从而使问题的解决比较容易。P|PF||PF|2a12例4.已知椭圆,、分别为其左、右焦点,为椭圆xaybabFFP22221210()上任意一点,=∠,求的最大值及取得最大值时点的坐标。FPFP12解:设,,则PxyPFxaccacab1222PFacax1同理,PFacax2在中,FPF12cosPFPFFFPFPF1222122122·PFPFPFPFcPFPF12212212242·44212212acPFPF212bacaxacax2122222bacaxaxa022xa当时,最小xba02122costcos在,上是减函数0arccos()21022baPb最大,此时点的坐标为,小结:利用椭圆的第二定义可把椭圆上的点P到焦点的距离转化为以P点的横坐标(或纵坐标)为自变量的一次函数的函数值。本例的解法把θ的余弦表示为x的函数,根据x的范围求得了θ的最大值。例题的结论说明了椭圆的短轴端点对两焦点的张角最大。用心爱心专心例5.已知在椭圆上,求点到直线:的距离最PxyPlxy4936215022大值。解法1:利用椭圆的参数方程,设,P3202cossin()由于椭圆上的点,都满足,则点到直PP3234150cossincossin线的距离为:ld34151234155515522cossincossinsin因为,所以11sin当时,有最大值sin145d解法2:椭圆的方程可化为,画出它的图象,该椭圆所包围的区xy22941域相当于可行域。作一组平行于的直线:,。显然,当直线与该椭圆相llxyttRl1120切时,切点到直线的距离达到最大值(或最小值)。lyl1lxOP9585,xy2150由,消去,得:49362022xyxyty25189144022xtxt由,得0252ttt55或容易求得,当时,与...