问题1易丢点无处不在的空集问题一、问题的提出在集合的学习过程中，许多同学对空集这个特殊的集合理解往往不是很深刻，尤其在一些解题过程中，由于对空集的理解不到位，经常会漏掉空集这种特殊集合，导致解题错误，为帮组学生走出误区，减少失误，特策划此专题。二、问题的探源1.不含任何元素的集合叫做空集，用表示，注意是一个单元素集，不是空集。从而，，都成立。2.①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则；⑥若，则。3.由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在遇到“AB”或“AB且B≠”或A∩B＝，时，一定要分A＝和A≠两种情况进行讨论，其中A＝的情况易被忽略，应引起足够的重视．三、问题的佐证一、不了解空集的定义而忽略空集的存在例1.，M＝{P|P为A的子集}，N＝{Q|Q为B的子集}，那么（）A.B.C.D.解：由于A、B的子集中都有，即，，而相对M、N来说是作为一个元素的身份出现，则，应选B。二、在集合的运算过程中，不了解空集的性质而忽视空集的存在例2.设集合，，若，求实数a的范围。④当B＝{0，－4}时，由韦达定理得，解得a＝1。综上①②③④知，所求实数a的范围为。三、不了解空集的实质而忽视空集的存在例3.集合，，若，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先由得，再根据及分类讨论，最后求两者并集得实数的取值范围.试题解析：解：由，得.当时，有：，解得.当时，由数轴可得，，解得.综上可知，实数的取值范围为.四、问题的解决1．下列关系中表述正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合中只有一个元素，即方程，而不是0，故A错；集合中只有一个元素，即点，而非0，故B错；空集不含任何元素，故C错，选D.2．下列表述中正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合元素的无序性知B正确.3．下列说法中，正确的是（）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．空集的元素个数为零D．任何一个集合必有两个或两个以上的子集【答案】C4．下列四个集合中，是空集的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A中；B中；C中；D中5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C6．已知集合，若，则等于_________.【答案】【解析】由题意知，则，当时，，符合题意；当时，，集合，解得或，综上，的值为，故答案为.7.已知集合，，若，则的取值范围为__________．【答案】或【解析】由解得或，所以，因为，所以可能，分别分析，当即时，符合题意，再有根与系数的关系知，时，符合题意，不符合题意，故填或8.已知函数的定义域为集合，．（Ⅰ）若，求．（Ⅱ）若，求实数的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】试题分析：（1）先得到函数的定义域A，再根据集合关系求出参数值；（2）由知道B是A的子集，根据集合间的包含关系得到和两种情况.最终需要将两种情况并到一起.（Ⅰ）∵，∴，即，若，则，∴．（Ⅱ）若，则，分情况讨论：当时，，解得：；当时，，解得：；综上所述，实数的取值范围是：．9.设全集，已知集合，．(1)求；(2)记集合，已知集合，若B∪A＝A，求实数的取值范围．【解析】(1)∵，，∴，．10.已知集合(1)当时，用列举法表示出集合C；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)当时，则，所以(2)若，则①当时，,解得；②当时，由,解得综上所述，实数的取值范围是11.已知集合，，全集．（）求．（）已知集合，若，求实数的取值范围．【答案】(1);(2).【解析】试题解析:(1)根据指数函数的单调性求出集合A,进而求出;(2)对集合C是否为空集,进行分类讨论,求出a的取值范围.12.已知集合，集合.（1）若，求的取值范围；（2）若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）或.（2）,①当时，满足要求，此时，得;②当时，要，则，解得，由①②得，实数的取值范围.
