核心素养测评五十七圆锥曲线中的探究性问题一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知椭圆E:+=1,设直线l:y=kx+1交椭圆E所得的弦长为L.则下列直线中,交椭圆E所得的弦长不可能等于L的是()A.mx+y+m=0B.mx+y-m=0C.mx-y-1=0D.mx-y-2=0【解析】选D.当直线l过点,取m=-1,直线l和选项A中的直线重合,故排除A;当直线l过点,取m=-1,直线l和选项B中的直线关于y轴对称,被椭圆E截得的弦长相同,故排除B;当k=0时,取m=0,直线l和选项C中的直线关于x轴对称,被椭圆E截得的弦长相同,故排除C;直线l的斜率为k,且过点,选项D中的直线的斜率为m,且过点,这两条直线不关于x轴、y轴和原点对称,故被椭圆E所截得的弦长不可能相等.2.(2020·盐城模拟)已知过抛物线C:y2=4x焦点的直线交抛物线C于P,Q两点,交圆x2+y2-2x=0于M,N两点,其中P,M位于第一象限,则+的值不可能为()A.3B.4C.5D.6【解析】选A.可以作出如图所示的图形,1由图可得,设=m,=n,则=m-1,=n-1,因为y2=4x,所以p=2,根据抛物线的常用结论,有+==1,所以=1,则m+n=mn,所以+=+==4m+n-5,又因为(4m+n)·1=(4m+n)·=4+++1≥5+2,当且仅当n=2m=3时取等号,得4m+n≥9,所以4m+n-5≥4,则+的值不可能为3.3.(2019·株洲模拟)点F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点A使△AOF(O为坐标原点)为正三角形,则椭圆的离心率为()A.B.-1C.D.-12【解析】选B.由题意,可设椭圆的焦点坐标为(c,0),因为△AOF为正三角形,则点在椭圆上,代入得+=1,即e2+=4,得e2=4-2,解得e=-1.4.(多选)我们把离心率为e=的双曲线-=1(a>0,b>0)称为黄金双曲线,如图.给出以下几个说法,其中正确的是()A.双曲线x2-=1是黄金双曲线B.若b2=ac,则该双曲线是黄金双曲线C.若∠F1B1A2=90°,则该双曲线是黄金双曲线D.若∠MON=90°,则该双曲线是黄金双曲线【解析】选ABCD.双曲线x2-=1中,因为e==,所以双曲线x2-=1是黄金双曲线,故A正确;3b2=ac,则e===,所以e2-e-1=0,解得e=,或e=(舍),所以该双曲线是黄金双曲线,故B正确;F1,F2为左右焦点,A1,A2为左右顶点,B1(0,b),B2(0,-b),且∠F1B1A2=90°,所以B1+B1=A2,即b2+2c2=(a+c)2,整理,得b2=ac,由B知该双曲线是黄金双曲线,故C正确;MN经过右焦点F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,所以NF2=OF2,所以=c,所以b2=ac,由B知该双曲线是黄金双曲线,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2020·沈阳模拟)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点M,设M的坐标为,若l1⊥l2,则下列结论序号正确的有________.①+<1,②+>1,③+<1,④4+3>1.【解析】F1,F2,因为l1⊥l2,·=0,所以×+×=0,即+=1,4M在圆x2+y2=1上,它在椭圆的内部,故+<1,故①正确,②错误;O到直线+=1的距离为=>1,O在直线+=1的下方,故圆x2+y2=1在其下方,即+<1,故③正确;4+3≥+=1,但4=,3=不同时成立,故4+3>+=1,故④成立.答案:①③④6.(2020·北京模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点O(0,0),M(-4,0),N(4,0),P(0,-2),Q(0,2),H(4,2).线段OM上的动点A满足=λ;线段HN上的动点B满足=λ.直线PA与直线QB交于点L,设直线PA的斜率记为k,直线QB的斜率记为k′,则k·k′的值为________;当λ变化时,动点L一定在________(填“圆、椭圆、双曲线、抛物线”之中的一个)上.【解析】因为=λ;所以A(-4λ,0),又P(0,-2),所以k=-=-;5因为=λ.所以B(4,2-2λ),所以k′==-,所以kk′=,设L(x,y),则k=,k′=,所以kk′=·=,所以=,即-=1,即动点L一定在双曲线上.答案:双曲线三、解答题(每小题10分,共20分)7.(2019·德州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为,P是椭圆C上的一个动点,且△PF1F2面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线PF2斜率为k(k≠0),且PF2与椭圆C的另一个交点为Q,是否存在点T(0,t),使得|TP|=|TQ|.若存在,求t的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】(1)当P为C的短轴顶点时,△PF1F2的面积有最大值,所以,解得,6故椭圆C的方程为:+=1.(2)设直线PQ的方程为y=k(x-1),将y=k(x-1)代入+=1,得x2-8k2x+4k2-12=0;设P,Q,线段PQ的中点为N,x0==,y0==k=,即N,因为|TPTQ|,所以直线TN为线段PQ的垂直平分线,所以TN⊥PQ,则kTN·kPQ=-1,即·k=-1,所以t==,当k>0时,因为4k+≥4(当且仅当k=时取等号),所以t∈,当k<0时,因为4k+≤-4(当且仅当k=-时取等号),所...
