高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E—SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n边形的用心爱心专心每个内角等于，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数F，棱数E，那么V+F-E＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E常见方法：(1)E＝V+F-2(2)E＝各面多边形边数和的一半(3)E＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1下列几何体是正多面体的是()A.长方体B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥解选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是.解(2)显然不对， 正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有条棱，面；②如果它是棱柱，那么它有条棱个面.用心爱心专心解①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V与面数F之间的关系.解 凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E＝F，代入欧拉公式：V+F-F＝2即2V-3F＝4.例2一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为()A.5400°B.6480°C.7200°D.7920°解由欧拉公式，V＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480°∴应选B.例3将边长为a的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a，侧棱长为＝a，而正八面体可分为两个正四棱锥.故V＝2×(a)2××＝.说明用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，连接AF、CE，(1)求异...
