第二届“南方杯”数学邀请赛十一年级(高二)第2试2007年5月13日上午8：30至10：30一、选择题：以下每题的四个选项中仅有一个是正确的，请将表示正确答案选项的英文字母填写在答题卡中的表格内（每小题6分，共36分）.1．若角满足，且位于第二象限，则角位于().A．第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.从正方体的8个顶点中随机地取三个两两不同的点，这三个点恰好构成一个正三角形的概率为().A．B.C.D.3．若k、a是实数，则关于x的不等式的解集为空集的充分必要条件是().A．B.C.D.4．函数的最小值等于().A．B.C.D.5．设是以-1为首项，以7为公差的等差数列的第n项，是该等差数列的第项，定义（叫做数列的“一阶差分”），则与之间的关系是（x、y是常数），且等于().A．11B.12C.13D.146．如图1，在平面凸四边形ABCD中，点E、F分别在直线AD、BC上，且，（，且均不等于-1）。若，则等于().A．B.1C.D.2二、填空题（每题9分，共54分）7．设等比数列的前n项之和为.若，，则等于_______.8．如图2，多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，AB//CD//EF，CD⊥平面BCF，△FBC是边长为1的正三角形.若EF=CD=1，AB=2，则该多面体的体积等于_________.ABEFDC图1ABCDFE图29．若a为实数，关于的方程组有实数解，则a的取值范围为_________.10．不等式的解集为.11．在1、2、3、4、…、100中共有_________个正整数n，使得能被7整除.12.对于，，组合数（二项式系数）的定义为.其中阶乘.另外，“二项式定理”指出：.由此，可求得：等于_________（用关于n的最简式子表示）.三、解答题（每题15分，共60分）13.(本题满分为15分)已知数列中，，前n项之和为.若，试求及的表达式（用关于n的最简式子表示）.14.（本题满分为15分）设，R为全体实数的集合，函数对于任意的都有，且对任意的有.(1)比较与0的大小；(2)解关于实数t的不等式.15.（本题满分为15分）如图3，在凸四边形ABCD中，AD=AC，，过点D作经过△ABC的内心I的直线交直线AB于点E.求证：AE=AD.16.（本题满分为15分）设a、b是两个给定的正实数，实数x、y满足，试求的取值范围（值域）.第二届“南方杯”数学邀请赛参考答案十一年级(高二)第2试2007年5月13日上午8：30至10：CABDEI图330一、选择题：题号123456选项CBDBAD二、填空题：题号789101112选项33三、解答题：13．解：因为，……………………………………………………………………………………3分所以有，，，……………………………………………5分所以，…………………………………………………………………………………………6分即是一个公差为1的等差数列。………………………………………………………………………7分由及等差数列的通项公式得：，…………………10分所以。…………………………………………………………………………11分当时，。…………14分当时，。总之，所求的。………………………………………………………15分14．解：(1)依题意有：………………………2分下证：为偶函数。对于任何的，有，所以为偶函数。………………………………………………………………………………………………………4分再证：在上是（严格）递增函数。对任意的，有，所以，即，这说明在上是（严格）递增函数。…………………………………………………………………………7分再由为偶函数知：在上是（严格）递减函数。………………………………9分再由知：对于任何的，有；对于任何的，有；对于任何的，有；对于任何的，有。另外，，。……………………………………………………………………………………………………………………………10分(2)显然，由为偶函数及在上是（严格）递增函数知：不等式……………………………………11分………………………………………………………………………………………………12分CABDEI图3………………………15分15．解：如图，连结AI，CI。本题的关键在于发现并证明：I、C、D、A四点共圆。由AC=AD得：又记，则。（由得：，从而）……………………….6分由上可知：于是I、C、D、A四点共圆，……………………………9分所以，………………………11分在△ADE中，由内角和为得...
