专题20平面向量共线定理【高考地位】随着向量在科学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题。在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势。其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.【方法点评】类型一在几何问题中的应用使用情景：平面几何证明、求值等问题中的应用解题模板：第一步将已知条件进行向量处理；第二步利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；第三步得出结论.例1平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.（1）试用表示向量；（2）证明线段交于一点且互相平分.【答案】（1），，；（2）证明见解析.例2如图，等腰三角形，.分别为边上的动点，且满足，其中，分别是的中点，则的最小值为______.【答案】考点：向量在几何中的应用．【思路点睛】由等腰三角形中，，算出．连接，利用三角形中线的性质，得到，，进而得到．将此式平方，代入题中数据化简可得，结合消去，得，结合二次函数的性质可得当时，的最小值为，所以的最小值为．本题的关键是用基底向量的关系式表示出向量，再求向量模的最小值，主要考查平面向量数量积公式及其运算性质和二次函数的最值求法等知识，属于中档题．【变式演练1】已知向量是两个不共线的向量，若与共线，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由，所以，解得，故选C.考点：向量的共线的应用.【变式演练2】已知非零向量满足，给出以下结论：①若与不共线，与共线，则；②若与不共线，与共线，则；③存在实数，使得与不共线，与共线；④不存在实数，使得与不共线，与共线.其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B考点：共线向量定理．【变式演练3】如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（）A．B．1C．D．【答案】Ｄ类型二在求动点轨迹中的应用使用情景：题设中有“向量的数量积”“平行”即共线等求点的轨迹解题模板：第一步将已知条件转化为向量的表示；第二步利用平面向量的运算法则和平面向量的性质对其进行求解；第三步得出结论.例3如图,过A(-1,0)，斜率为k的直线与抛物线C:交于P、Q两点，若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按图中顺序构成平行四边形，求点R的轨迹方程。【答案】Ｄ.【点评】本题若不用向量法，一般采用联立方程，考虑判别式，结合韦达定理的方法，尽管思路清晰，但计算量大，且技巧性强，不易掌握，而利用向量法解答，简单明快，容易接受.【变式演练4】已知椭圆，直线，P是上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？【答案】点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和且长轴与轴平行的椭圆.【解析】设（其中、不同时为0）由非零向量、、共线，可设，，则,,分别代入椭圆方程、直线方程得：【点评】本题我们注意到点Q在OP上，于是存在、、共线，因此可借助两个非零向量共线的充要条件，巧设参数、转化已知条件|OQ||OP|=为，使得消元过程异常简捷。向量与解题交汇的综合题已成为高考命题的热点.【变式演练5】如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线。求曲线的方程；若过定点F（0，2）的直线交曲线于不同的两点（点在点之间），且满足，求的取值范围。【答案】；。（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为得设，又当直线GH斜率不存在，方程为.考点：向量的运算；椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与椭圆的综合应用。点评：求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化——转化成某一已知曲线的定义条件。【高考再现】1.【2017北京理，6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A2.【2017全国Ⅲ卷理，12】在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（）A．3B．C．D．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．()AODxyBP...
