课后限时集训(二十九)等差数列及其前n项和(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·南宁模拟)等差数列{an}中，a3＋a7＝6，则{an}的前9项和等于()A．－18B．27C．18D．－27B[S9＝＝＝＝27.故选B．]2．数列{an}满足2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，且a2＋a4＋a6＝12，则a3＋a4＋a5＝()A．9B．10C．11D．12D[由2an＝an－1＋an＋1(n≥2)可知数列{an}为等差数列，∴a2＋a4＋a6＝a3＋a4＋a5＝12.故选D．]3．公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝3a4，且S10＝λa4，则λ的值为()A．15B．21C．23D．25D[由题意得a1＋5d＝3(a1＋3d)，∴a1＝－2D．∴λ＝＝＝＝25，故选D．]4．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝()A.B．1C.D．A[ an＋1＝，∴－＝，又a1＝3，∴数列是以＝为首项，为公差的等差数列，∴＝＋＝，即an＝.∴a4＝.故选A.]5．(2019·四川棠湖中学模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，－＝－4，则Sn取最大值时的n为()A．4B．5C．6D．4或5B[由{an}为等差数列，所以－＝a5－a3＝2d＝－4，即d＝－2.由a1＝9，所以an＝－2n＋11.所以数列{an}为递减数列，即Sn存在最大值．由解得4.5＜n≤5.5.所以Sn取最大值时的n为5，故选B．]二、填空题6．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．an＝6n－3[ a1＝3，a2＋a5＝a1＋a6＝36，∴a6＝33，∴公差d＝＝＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×6＝6n－3.]7．正项数列{an}满足a1＝1，a2＝2,2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，则a7＝________.[由2a＝a＋a(n∈N*，n≥2)，得数列{a}是等差数列，公差d＝a－a＝3，首项a＝1，所以a＝1＋3(n－1)＝3n－2，∴an＝，∴a7＝.]8．(数学文化)《九章算术》是我国第一部数学专著，下面有源自其中的一个问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问金箠重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问金箠重多少斤？”根据上面的已知条件，若金箠由粗到细的重量是均匀变化的，则答案是________．15斤[由题意可知金箠由粗到细各尺的重量成等差数列，且a1＝4，a5＝2，则S5＝＝15，故金箠重15斤．]三、解答题9．(2019·太原模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＜0，S2019＝0.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.[解](1)设公差为d，则由S2019＝0⇒2019a1＋d＝0⇒a1＋1009d＝0，d＝－a1，a1＋an＝a1，所以Sn＝(a1＋an)＝·a1＝(2019n－n2)．因为a1＜0，n∈N*，所以当n＝1009或1010时，Sn取最小值505a1.(2)an＝a1，Sn≤an⇔(2019n－n2)≤a1.因为a1＜0，所以n2－2021n＋2020≤0即(n－1)(n－2020)≤0，解得1≤n≤2020.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2020，n∈N*}．10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)已知数列{bn}满足bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.[解](1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.B组能力提升1．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2019＋a2020＞0，a2019·a2020＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是()A．2019B．2020C．4038D．4039C[因为a1＞0，a2019＋a2020＞0，a2019·a2020＜0，所以d＜0，a2019＞0，a2020＜0，所以S4038＝＝＞0，S4039＝＝4039a2020＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4038.]2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则m＝()A．2B．3C．4D．5D[ Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝2，am＋1＝3，∴公差d＝1.又Sm＝＝0，∴a1＋am＝0，∴a1＝－2.∴am＝－2＋(m－1)×1＝2，∴m＝5.]3．已知等差数列2,6,10，…，190，…，和等差数列2,8,14，…，200，…，由这两个等差数列的公共项按...
